5.2. Математическое введение, обозначения и определения

Мы уже определили физические понятия: объект его желаемую оценку изображение и шум использованные в (5.1). Дадим теперь некоторые математические определения.

Если дана функция пространственной координаты то ее преобразование Фурье по пространственной частоте (в радианах на единицу длины) со определяется как

Иногда операцию преобразования Фурье обозначают Энергетический спектр соответствующий спектру определяется как среднее по ансамблю

В общем функции пространственной координаты х будут обозначаться строчными буквами, например а соответствующие преобразования Фурье — прописными, например Таким образом, имеем пары и Исключением (и, должно быть, единственным) из этого правила является функции рассеяния точки которое будет обозначаться как в соответствии с обозначением О'Нейла [13].

Что касается векторов и матриц, то вектор, соответствующий будет обозначаться полужирной буквой а матрица, соответствующая будет обозначаться [5]. Матрицы и преобразования Фурье никогда не используется сов местно, так что путаница исключается,

Если в качестве используется (5.4), то обратное соотношение между имеет вид

Функция называется «ограниченной по полосе частот», или просто «ограниченной по частоте», если ее преобразование Фурье (спектр) имеет резкую границу: при При этом частота называется граничной частотой, и бесконечные пределы в (5.5) можно заменить на

Наоборот, функция может быть названа «ограниченной по полосе пространства», если существует такая координата X, что при На обычном языке это означает, что имеет ограниченную пространственную протяженность. Так, из (5.1) и (5.2) видно, что имеет ограниченную пространственную протяженность, и, следовательно, является ограниченной по полосе пространства.

При работе с функциями, ограниченными по полосе, полезно определить специальные функции

Между понятиями (5.4), (5.6а) и (5.66) имеется связь, обусловленная тем, что от выражается в виде Эта запись демонстрирует главное преимущество определений (5.4) — (5.6), которое состоит в устранении множителя в аргументе функций.

Для ограниченной по частоте функции выполняется теорема отсчетов Уиттекера — Шеннона

н безымянная, но полезная дополнительная теорема

Выражение (5.7а) иногда называют формулой идеальной интерполяции: если известна на подмножестве точек х с интервалом то она известна всюду между этими точками. При

этом точки приобретают смысл узлов интерполяции или независимых степеней свободы функции Интервал часто называют интервалом Найквиста.

Теоремы (5.7) можно доказать, используя (5.5) с конечными пределами интегрирования и замечая, что отличается от нуля лишь на конечном интервале что позволяет представить ее на этом интервале рядом Фурье. Из (5.5) следует, что коэффициенты этого ряда точно равны Подстановка их в ряд Фурье дает (5.76). Затем подставляем (5.76) в (5.5) и после почленного интегрирования получаем (5.7а).

Если полностью известна в конечной частотной области то можно образовать оценку «главного значения», или «идеальную частотно-ограниченную» оценку объекта в виде

Поскольку идеальная частотно-ограниченная оценка имеет полностью детерминированный характер и прозрачный смысл, она может служить основой для сравнения с другими методами реставрации.

Далее мы будем часто пользоваться математическим тождеством, называемым теоремой Винера — Хинчина:

Она легко выводится путем замены в (5.9) на их преобразования Фурье (5.5) и интегрирования по х. Тождество

помогает выполнению этой операции. Здесь — дельта-функция Дирака, определяемая как

причем

Правая часть (5.9) определяет математическую операцию, называемую «сверткой». Для нее полезно ввести специальное обозначение

Наконец, полезно упомянуть «выделяющее» свойство дельта-функции Дирака. Когда участвует в свертке, воспользовавшись свойством (5.10), можно получить выражение

Это означает, что единственное значение выделяется из бесконечного множества значений интегрируемых в левой части равенства. Это свойство дельта-функции наряду с (5.9) является наиболее употребительным на практике.