2.4. Реставрация оригинала

Модель линейной системы отображения общего вида представлена во введении к этой главе (фиг. 2.1), где даны обозначения, используемые при последующем изложении. Обращаясь к дискретно-дискретному варианту модели и произведя «векторизацию» оригинала и изображения с помощью пакетного оператора [6, 18], мы получим (2.6)

чему в непрерывно-непрерывной модели соответствует (2.1)

Смысл реставрации оригинала состоит в попытке произвести инверсию искажений, внесенных в оригинал системой отображения. Решение системы, описываемой предыдущим уравнением, исследовалось для одного измерения Хансоном [19] и Вара [20], которые применили РСЗ в качестве средства получения псевдоинверсии уравнения. Исследования проводились в дискретном пространстве с использованием квадратурных формул интегрирования, чтобы получить эквивалентное представление в виде векторного пространства. Сондхи [21] предложил применить РСЗ как инструмент для обработки при реставрации изображений, подвергнутых пространственно-инвариантным искажениям. Трейтель и Шенкс [22] предложили плоскостные фильтры, которые проектируются с использованием метода РСЗ, подобного описанному в этой главе.

Введем четыре предположения, касающиеся импульсной характеристики и затем оценим воздействие этих предположений на двумерные преобразования и инверсию связанных с ними искажающих явлений. Перечислим эти предположения в порядке возрастания сложности:

а) Разделимая пространственно-инвариантная функция рассеяния точки (РПИФРТ)

б) Разделимая пространственно-зависимая функция рассеяния точки (РПЗФРТ)

в) Неразделимая пространственно-инвариантная функция рассеяния точки (НПИФРТ)

г) Неразделимая пространственно-зависимая функция рассеяния точки (НПЗФРТ)

В качестве инструмента для выполнения процессов реставрации в следующих разделах используется алгебра матриц и внешних произведений, причем к матрице функции рассеяния точки в (2.6) не предъявляется каких-либо особых требований. Будем исходить из того, что известно аналитическое выражение и требуется восстановить При практическом применении модели удобно, чтобы система отображения сохраняла неизменной энергию изображения. Но поскольку скалярные элементы сами являются некоторыми мерами энергии, имеем

С другой стороны, импульс, или дельта-функция Дирака (точечный источник света), расположенный где-либо в вносит в количество энергии, независимое от его положения в Следовательно, мы описываем систему с единичным усилением:

Кроме того, природа чувствительных к энергии приборов такова, что они образуют только неотрицательные величины, и мы имеем

Поскольку матрица неотрицательна, известно [23], что будет поэлементно неотрицательным следующее выражение:

где берутся из множества определяемого с помощью РСЗ матрицы