5.13.2. Знание положительности: влияние на паразитную осцилляцию и разрешение

Простое ограничение в виде требования положительности оценки оказывает на нее сильное и благотворное воздействие. Покажем это, развивая соображения, приведенные в п. 5.13.1.

Предположим для простоты, что объект состоит из одной дельта-функции Тогда изображение принимает форму дискретных отсчетов функции рассеяния которые практически равны нулю везде, кроме центральной области

Рассмотрим точки объекта, сопряженные с этими весьма

малыми отсчетами изображения. Допустим, что реставрируемый объект должен быть ограничен только положительными значениями. Тогда, если в этих точках возникает паразитная осцилляция, она должна происходить относительно некоторого положительного локального среднего. Следовательно, суммарные вклады от этих осцилляций в интеграл изображения (5.1) также должны быть положительными и конечными. Однако в соответствии с принятой гипотезой отсчеты входного изображения в этой области пренебрежимо малы. Поэтому подобные осцилляции объекта оказываются несовместимыми с данным изображением. Вследствие этого объект, ограниченный положительными значениями и согласованный с входными данными об изображении, не может иметь паразитных осцилляций в областях, с которыми сопряжены области истинного объекта, где его значения пренебрежимо малы.

Описанные явления имеют преобладающее значение для объектов, состоящих главным образом из нулевых значений, т. е. содержащих конечное число дельта-функций на нулевом фоне. В то же время было эмпирически установлено, что отсутствие паразитной осцилляции часто сопровождается увеличенным разрешением выхода Это можно объяснить, используя рассуждения, подобные приведенным в п. 5.13.1.

Действительно, если для реставрируемого объекта допускается заход в отрицательную область, т. е. не вводится ограничение по положительности, то типичная реставрация объекта будет иметь вид В ней присутствует паразитная осцилляция, начинающаяся с большого отрицательного лепестка при Очевидно, что вклад этого отрицательного лепестка в изображение компенсируется за счет соседних точек в положительном центральном лепестке Следовательно, если отрицательный лепесток не существует (благодаря ограничению реставрации положительными значениями), то соседние точки положительного лепестка уже не должны быть положительными и конечными. Они могут оставаться равными нулю, что приводит к сужению центральной области и тем самым к увеличению разрешения.