5.4. Метод сглаживания Филлипса

Из фиг. 5.1 можно сделать вывод, что осцилляция, привнесенная в влечет за собой появление больших значений производной или (что эквивалентно) больших вторых разностей Поэтому есть основания полагать, что решение с малыми вторыми разностями во всей области его определения окажется более точным. В то же время желательно, чтобы удовлетворяла (5.3) для входных данных. Поэтому имеет смысл поступиться согласованностью со входными данными ради обеспечения гладкости, для чего следует искать удовлетворяющее уравнению

Член выражает «несогласованность» или «несовместность» левой и правой частей (5.3):

Величина выбранного параметра определяет степень преобладания гладкости, выражаемой первым членом (5.15), над согласованностью.

5.4.1. Вывод

Решение задачи (5.15), (5.16) находится с помощью обычных методов вычисления. Подстановка частных производных в (5.15) и приравнивание нулю дает

Но требуемые частные производные можно найти из (5.14). Полагая это уравнение можно представить в виде

так что

Поэтому (5.17) принимает вид

Это уравнение линейно относительно и может быть записано в виде

с использованием матрицы определенной в (5.20). Исключая из системы уравнений (5.13) и (5.21), получаем оценку объекта

и шума

5.4.2. Обсуждение

Для проверки решения полагаем что, согласно (5.15), приводит к устранению сглаживания. Это находит свое отражение в результатах (5.22) и (5.23) и проявляется в том, что (5.22) сводится к решению (5.14) на основе инверсии матрицы при Но более интересно, что с ростом у в решении (5.22) относительный вес гладкости увеличивается, а согласованности уменьшается — именно так, как этого требует (5.15). При излишне больших у О оказывается даже более смазанным, чем исходные данные

Очевидно, что пользователь должен выбирать значение у в промежутке между этими предельными значениями. И здесь вступает в силу выражение (5.23), дающее оценку шума Пользователь обычно имеет некоторые сведения о шуме в изображении; как правило, с какой-то точностью бывает известна дисперсия шума. При этом корректное решение (5.23), т. е. решение, основанное на применении почти правильного значения у, должно дать оценку шума с дисперсией, приблизительно соответствующей известной. Следовательно, чтобы найти правильное значение у, пользователь должен получить несколько решений (5.22) и (5.23), основанных на различных значениях у, и затем выбрать решение, которое дает оценку шума, наиболее хорошо согласующуюся с априорной информацией о шуме (например, до дисперсии).

Точки, отмеченные знаками на фиг. 5.1, соответствуют использованию в формуле реставрации (5.22) значения Дальнейшее обсуждение вопроса о выборе у можно найти у Филлипса [1].

5.4.3. Достоинства и недостатки метода в применении к улучшению изображения

Основное преимущество метода состоит в том, что он позволяет сглаживать шум без излишнего смазывания выхода (при условии правильного выбора и в предельном случае отсутствия шума обеспечивает получение идеального выхода

Что касается времени вычислений, то (5.22) дает решение в замкнутой форме, которое требует выполнения лишь инверсии двух матриц и одного векторного умножения. В этом заключается определенное преимущество для решения одномерных задач.

Однако, переходя к проблеме улучшения двумерных изображений, мы замечаем, что матрицы [5] и содержат по элементов, где -число точек входного изображения. Поэтому при входной матрице 32X32 указанные матрицы имеют размер 1024 X 1024! Инверсия матриц такого размера (если не касаться специальных случаев) представляет грандиозную, но не неразрешимую задачу, учитывая растущую производительность вычислительных машин.

С оптической точки зрения метод имеет еще некоторые недостатки:

1. Неопределенность выбора у.

2. Неограниченный характер оценки. Хотя мы знаем, что положительно, решение из (5.22) не обязательно является таковым. Ниже будет показано, что методы реставрации с ограничениями имеют важные преимущества по сравнению с методами, не учитывающими ограничений.

3. Осциллирующий шум в подавляется за счет сглаживания с использованием минимизации вторых разностей. Однако во многих оптических приложениях вторые разности интересующего объекта велики, как это имеет место в случае звездных полей, контуров и линейных оптических спектров. Поэтому для оптических целей следовало бы использовать более хороший критерий, чем минимум вторых разностей. Возможный подход к решению этой проблемы описывается ниже.