5.7. Линейные или нелинейные методы?

Обсудив линейные методы инверсии дискретного (матричного) варианта отображения согласно (5.3), обратимся теперь к задаче линейной инверсии (или фильтрации) непрерывного варианта отображения (5.1). Этой задаче посвящено огромное количество исследований. При желании читатели могут обратиться к библиографическому указателю, составленному недавно Праттом [16], либо к перечню литературы в работе Хуанга и др. [17].

Однако кроме затруднений, вызываемых изобилием работ, есть более веская причина не принимать точку зрения об универсальности линейных методов. Выражаясь просто, существуют более хорошие методы обработки, чем линейные. Под более хорошими мы понимаем методы, обеспечивающие повышенную

точность выхода а совсем не увеличенную скорость вычислений. К таким методам относятся схемы экстраполяции полосы частот, разработанные Бургом [5], Биро [9], Шеллом [8], Джанссоном [10] и Фриденом [18, 19]. Все они являются нелинейными и, за исключением метода Бурга, итеративными.

Продолжающееся использование методов фильтрации оправдывается тем, что они обеспечивают высокую скорость вычислений и применяются в тех случаях, когда фильтровая оценка уже имеет достаточную полосу частот. Некоторым источникам, образующим смазанное изображение (в частности, в результате движения), присуща бесконечная полоса частот, и поэтому они вообще не требуют экстраполяции. Кроме того, у объектов, имеющих в основном сглаженный характер, спектр сосредоточен около начала координат частотной области (соответствующего постоянной составляющей).

Что касается скорости, то появившийся недавно алгоритм БПФ (быстрого преобразования Фурье), разработанный Гудом [20] и Кули и Тьюки [21], обеспечил применение методов фильтрации к двумерным изображениям большого размера (порядка 64X64 элемента). После доработки Синглтоном [22] этот алгоритм в принципе стал пригоден для осуществления быстрого преобразования Фурье над точечной решеткой любого размера. Опубликованы многочисленные примеры применения метода фильтрации (см., например, работу Мак-Гламери [23]).

Менее важным преимуществом является легкость аналитического исследования методов линейной фильтрации (в отношении предельного разрешения, передачи шума и т. п.). В противоположность этому для анализа нелинейных методов приходится применять метод проб и ошибок.

Кроме того, можно привести доводы, подтверждающие, что иногда линейные методы могут быть оптимальными, но, как будет показано ниже, для оптического случая это неверно.

Если в каждой точке изображение (т. е. сигнал, получаемый в результате свертки) и шум в (5.1) образуют совместное нормальное распределение, то наилучшую среднеквадратичную оценку сигнала дает линейная комбинация из [24, стр. 256]. С другой стороны, если сигнал и шум образуют независимые нормальные распределения, то оценка сигнала по максимуму правдоподобия также будет линейной [25, стр. 417]. Поскольку объект линейно связан с изображением (через детерминированную функцию рассеивания), то для указанных двух случаев его оценка также будет линейной комбинацией данных

Однако особенность оптических изображений состоит в том, что они не могут иметь статистических характеристик нормального типа, поскольку значения изображения могут быть только

положительными. Поэтому основная предпосылка приведенных соображений в пользу оптимальности линейной оценки не имеет силы в оптическом случае. С другой стороны, это согласуется с эмпирическим фактом, что нелинейные методы (перечисленные выше) обладают явными преимуществами. Более того, нелинейность в этих методах нужна именно для того, чтобы наложить особое ограничение на получаемый выход, который должен быть положительным (и отличным от нормального).