5.16. Метод Джанссонаван Циттерта

В п. 5.10.4 мы исследовали метод последовательной свертки ван Циттерта и выяснили, почему он обычно не пригоден для резкого улучшения разрешения зашумленных данных. Недавно Джанссон [10] произвел модификацию этого метода, превратившую его в полезный инструмент улучшения спектральных данных.

Джанссон модифицировал первоначальный алгоритм ван Циттерта (5.59) следующим образом. Исходим из тех же начальных условий от Затем производим итерации:

где

Фактически в правой части шага (1) включает в себя имеющиеся на этот момент значения из шага (2), поскольку они уже сформированы при предшествующих значениях но ради упрощения записи это учитывается в обозначениях.

Сравнивая этот метод с методом ван Циттерта, мы замечаем, что на шаге (2) модифицированного алгоритма вводится коэффициент релаксации В этом и состоит сущность модификации. Зависимость от такова, что когда стремится к или к 1. Поэтому если при любом итерация на шаге (2) оказывается близкой к или 1, то следующая итерация и все остальные итерации сохраняют полученное значение. Это ограничивает выход пределами 1. Именно такому физическому требованию удовлетворяют спектры поглощения, для которых был разработан этот алгоритм.

Возвращаясь к шагу (2), мы видим, что вначале линейно относительно которое в свою очередь линейно относительно изображения Но затем формируемое на шаге (2), становится квадратичным относительно изображения становится кубичным относительно В общем выход оказывается весьма нелинейно связанным с данными об изображении. Таким образом, коэффициент превращает линейный и не учитывающий ограничений метод ван Циттерта в нелинейный и учитывающий ограничения метод.

Если описанный метод понадобится для обработки изображений другого типа, чем спектры поглощения, то можно приспособить к выполнению новых требований по ограничению. Если желательно, например, чтобы где известные постоянные, то можно использовать новый коэффициент релаксации в виде

Если же требуется просто положительный выход то в предыдущем выражении можно установить и использовать любое В, которое ограничивает сверху ожидаемую картину

Более интересно, что описанную процедуру можно обобщить на случай, когда пользователь знает ограничивающие кривые и При этом постоянные в предыдущей формуле заменяются функциями и

Фиг. 5.12. Иллюстрация применения метода Джанссона для реставрации спектроскопических данных, а — исходный спектр, соответствующий ветви полосы для результат реставрации с использованием измеренной ФРТ. в — результат реставрации, когда измеренная ФРТ моделировалась гауссовой функцией, ширина которой на половине высоты была такой же, как у измеренной ФРТ. Такая аппроксимация вызывает малозаметное снижение качества реставрации [10].

На фиг. 5.12 показан типичный пример использования алгоритма (5.92) для реставрации спектроскопического изображения. Разрешение на графиках и в значительно выше, чем на графике а, так что одна из спектральных линий даже расщепляется на две. График в демонстрирует, что обсуждаемый метод не слишком чувствителен к точности формы функции рассеяния в данном случае в алгоритме (5.92) была использована гауссова аппроксимация функции рассеяния, полученной экспериментально.