5.10.5. Методы дискретной противосвертки

Несмотря на высокую скорость алгоритма БПФ (раздел 5.7), некоторые исследователи считают полезным выполнять цифровую обработку в пространственной области, поскольку в принципе операция противосвертки (5.31) может быть выполнена с помощью дискретного суммирования, охватывающего несколько точек. Это можно показать следующим образом.

Для того чтобы использовать выражение (5.31) в ЦВМ, его нужно преобразовать в дискретную форму:

где точки входных данных разнесены, скажем, на интервал Найквиста (раздел 5.2). Будем теперь рассматривать функцию ядра противосвертки у как вектор из входных чисел, выбираемых, как будет показано далее.

Изображение связано с объектом о посредством (5.1). Подставляя (5.1) в (5.61), получаем

где полная (от входа до выхода системы) ФРТ имеет вид

Как следует из (5.62а), желательно, чтобы как можно лучше аппроксимировала дельта-функцию Дирака С другой стороны, согласно (5.626), Яполн выражается взвешенной суммой отсчетных значений известной ФРТ. Поэтому веса должны выбираться так, чтобы взвешенная сумма обеспечивала наилучшее (в некотором смысле) приближение к дельта-функцни.

Для примера предположим, что имеется дифракционно-ограниченная система отображения, у которой

При этом полоса частот , интервал Найквиста и положение первого нуля составляют соответственно . Установим смещения изображения в (5.61) кратными интервалу Найквиста.

Потребуем, чтобы в результате расчета в (5.626) имела первый нуль при т.е. вдвое ближе к началу, чем у физической ФРТ (5.63а), и будем считать, что этого результата мы хотим добиться, используя лишь члена в (5.61) и (5.626). С учетом этих ограничений и того, что должна быть симметричной относительно принимает вид

Вес должен удовлетворять условию разрешения откуда следует

Это уравнение имеет единственное решение

В результате получаем, что для данного случая сумма изображений со смещениями и весами ( образует полную первый нуль которой занимает положение на оси х вдвое ближе, чем первый нуль физической ФРТ.

Чтобы оценить этот результат, нужно сравнить его по точкам с получаемой при инверсной фильтрации, которая, согласно (5.38), составляет в данном случае Эта функция также имеет первый нуль при т. е. в месте, соответствующем нашему решению (5.636) и (5.64). Однако график (5.636) имеет боковой лепесток величиной 0,39, что превышает величину бокового лепестка составляющую 0,21. Следовательно, инверсная фильтрация обеспечивает лучший результат, чем дискретная противосвертка при

Это положение исправляется при увеличении В общем случае способ, принятый при составлении (5.636), приводит к

появлению независимых Поскольку имеется лишь одно ограничительное уравнение которому должны удовлетворять то из них оказываются произвольными параметрами. Их можно подобрать так, чтобы в каком-то смысле минимизировать боковые лепестки Например, если требуемое разрешение по-прежнему составляет то при боковые лепестки получаются почти такими же, как при инверсной фильтрации. С другой стороны, если для пользователя приемлемы величины боковых лепестков, превышающие 0,21, он может получить более высокое разрешение, чем достигается при инверсной фильтрации (см. [37]).

Наконец, в [37] было установлено, что первый нуль при может быть получен при использовании только трех целых значений весов В соответствии с (5.61) это приводит к построению способа реставрации, включающего только чистое сложение и вычитание соседних значений изображения.

Дискретный подход к обработке данных, соответствующий (5.61), был принят также Аргуелло и др. [28] Однако эти авторы при выборе коэффициентов исходили из функций окна определяемых в частотной области. Такой подход принципиально и количественно отличается от описанного выше метода проектирования в исходной (пространственной) области в соответствии с (5.63) и (5.64). Здесь уместно спросить, что оказывает большее воздействие на качество изображения — контраст или рассеяние точки? Вот один пример: наблюдая поведение кривой общего вида, нельзя судить о величине наибольшего бокового лепестка и положении первого нуля ее преобразования Фурье

Тем не менее, как и в работе [37], в работе Аргуелло и др. делается вывод, что для получения приемлемой реставрации достаточно брать число слагаемых порядка трех — пяти. Следовательно, исходя из двух различных точек зрения, можно заключить, что реставрировать данные с использованием обработки ЭВМ в исходной области пространственных переменных практически также полезно, как и с использованием обработки в частотной области.

Такие наиболее широко известные примеры улучшения изображения, как обработки снимков поверхности Луны, полученных с автоматической межпланетной станции «Рейнджер», других фотографий, выполненные Натаном [38] и его сотрудниками, фактически производились с использованием противосверткн (5.61) в области пространственных координат. На фиг. 5.7 показан характерный пример фотографий до и после обработки по методу Натана.

(кликните для просмотра скана)