5.10.4. Метод последовательной свертки ван Циттерта

Мы убедились с помощью (5.31), что линейная фильтрация может быть полностью выполнена в исходной пространственной области переменной х. Функцию в (5.31) часто называют «противосверточной» (deconvolving). Очевидно, если везде положительна, то выход неизбежно будет даже более сглаженным, т.е. более искаженным, чем входное изображение. Следовательно, для улучшения изображения функция должна содержать значительные отрицательные области.

Предположим, что пользователь хочет выполнить улучшение с помощью линейной фильтрации в области переменной но должен ограничиться использованием чисто положительной функции это ограничение может быть обусловлено., например, используемым аналоговым прибором. В соответствии с предыдущим рассуждением это представляется невозможным. Однако приведенные соображения относятся к использованию однократной свертки Если же пользователь может производить многократную свертку, то появляется возможность использовать положительные ядра Интересно, что при этом выполняет функцию как установил в своем исследовании ван Циттерт [35] в 1931 г. Джанссон [10] рассмотрел некоторые современные спектроскопические приложения метода ван Циттерта. Этот метод состоит в следующем.

Пусть индекс указывает номер итерации. Начнем с и исходного и применим следующий алгоритм:

Опытным путем было обнаружено, что метод ван Циттерта не всегда сходится и особенно в тех случаях, когда изображение сильно смазано или когда в имеется значительный шум [36]. Далее мы объясним, почему это происходит, и покажем, что метод ван Циттерта при фактически сходится в пределе к оценке (5.35), получаемой с помощью инверсной фильтрации, при условии, что для всех Кроме того, мы покажем, что на частотах для которых шум в изображении при последовательных итерациях линейно нарастает.

Анализ оказывается очень простым, если перевести (5.59) в частотную область. В результате после некоторого комбинирования получаем (опуская аргумент

Начав с в правой части и подставляя последовательно левую часть в правую, получаем геометрическую прогрессию

которая вычисляется аналитически и составляет

Этот результат, верный для любой частоты показывает, что:

1. В пределе при приближается к оценке с помощью инверсного фильтра при условии, что Следовательно, если, например, вследствие прямолинейного движения изображения, дефокусировки или смазывания по другим причинам, то не сходится и поэтому не будет преобразованием Фурье от оценки которая входит в алгоритм (5.59) как наблюдаемая величина.

2. При конечном функция в квадратных скобках в (5.60) действует как аподизирующая, или сглаживающая, функция окна, подобная функциям, описанным в п. 5.9.2. Следовательно, при конечных метод ван Циттерта приводит к сглаженному варианту ннверсной фильтрации. С ростом функция окна приближается к

3. Переходя к пределу при и используя правило Лопиталя, находим, что на частотах, на которых оценка выражается в виде что соответствует просто линейно усиленному шуму.

4. Наконец, при малых и средних в (5.60) мы обнаруживаем, что оценка соответствует просто линейно усиленному варианту входного изображения.

По-видимому, эти результаты объясняют описанные выше наблюдения Джанссона [36], указывающие на узкие рамки применения метода ван Циттерта. Особое значение имеет требование никогда не допускать и избегать явления (4); последнее предупреждение весьма важно, поскольку для всех оптических изображений становится малым вблизи граничной частоты

Учитывая недостатки этого метода, поразительно, что Джанссону и др. [10] удалось найти простой прием, позволяющий добиваться успеха при обработке реальных сильно смазанных изображений (раздел 5.16).