5.19. Решение Фридена для максимума энтропии

Это решение строится на основе энтропийной меры (5,95). Его дополнительное отличие от метода Бурга состоит в том, что шум на изображении рассматривается как вторая неизвестная структура, которую также следует оценить. Таким образом, в данном случае требуется еще получить несмещенную оценку шума, его оценку по максимуму энтропии.

Однако шум, присутствующий в данных об изображении, может принимать как положительные, так и отрицательные значения; при этом для отрицательных оказывается неопределенным, Эту трудность можно обойти, определив новое множество значений шума в виде

Здесь В — положительная постоянная достаточной величины, обеспечивающая компенсацию самых отрицательных значений и тем самым получение всех Таким образом, мы хотим теперь найти оценки по максимуму энтропии для

Вообще говоря, для всех априорно допускаются значения от до Следовательно, согласно (5,97а), в идеальном случае В должно находиться как

Очевидно, пользователь не может точно знать это число. Однако он может принять для В некоторое разумное значение, например если, конечно, такая априорная информация о шуме имеется в наличии. Мы убедились на опыте, что качество решения для неизвестных слабо зависит от точного выполнения (5.976), но получается все же более хорошее решение, когда это условие действительно выполняется.

Поскольку объект и шум выражаются независимыми массивами чисел, общая энтропия объекта и шума представляет собой просто сумму их энтропий. Для того чтобы решения, основанные на максимуме энтропии, отличались от идеально плоских оценок, необходимо ввести ограничения в виде входных данных об изображении и его полной энергии (см. заключительную часть раздела 5.17). В соответствии с законом

сохранения энергии величина 10 равна общему потоку энергии от объекта, С учетом всего сказанного выше уравнение реставрации принимает вид

Это выражение полезно сравнить с уравнением Бурга (5.96а). Новый входной параметр позволяет пользователю усиливать сглаживание каждой из оценок Чем больше тем большее значение придается максимизации энтропии шума следовательно, его сглаживанию, и наоборот. Описываемые ниже контрольные реставрации показали, что для широкого класса объектов и шума оптимум достигается приблизительно при

Для решения (5.97в) сначала производим дифференцирование при всех а затем все результаты приравниваем нулю. Благодаря этому получаем отдельные решения для каждого из массивов неизвестных:

Определяющие эти решения неизвестные находим, требуя, чтобы решения удовлетворяли входным ограничительным уравнениям в виде

Правые части (5.98в) — это входные данные. Подставив (5,98а) и (5,986) в (5.98в), получим систему нелинейных уравнений для неизвестного

Хотя возможны и другие пути решения, мы с успехом использовали алгоритм релаксации Ньютона — Рафсона (см., например, [55]), Вначале выбираем исходные значения мы брали для всех — таким, чтобы оно

удовлетворяло ограничительному уравнению в системе (5.98в). Затем производим изменение таком направлении, которое приближает их к значениям, удовлетворяющим все ограничительные уравнения; при этом предполагается, что все производные высших порядков равны нулю при Для получения множества удовлетворяющего (5.98в), требовалось от 8 до 40 итераций,

5.19.1. Обсуждение

Интересно отметить, что, хотя мы начинали вывод с априорного предположения о максимуме энтропии (5.97в), в применении к данной задаче это исходное положение само может быть выведено на основе принципа максимального правдоподобия [18]. Поэтому решения (5.98а) и (5.98в) одновременно являются оценками по максимуму энтропии и по максимуму правдоподобия.

Что же касается положительности, то, как видно из (5,98а), сама форма представления решения гарантирует положительную оценку объекта,

В отношении паразитных осцилляций на выходе из (5,98а) следует, что

Это означает, что в тех местах, где имеется нулевой фон, вообще не может осциллировать либо осциллирует слабо. Практически в пределах тех областей, где объект был равен нулю, типичные оценки везде давали значения порядка Поэтому в таких областях оценки были очень гладкими, а осцилляции совершенно отсутствовали. Именно по этой причине метод дает вполне хорошие результаты для объектов, содержащих множество импульсов и имеющих нулевые значения везде, кроме конечного числа точек,

5.19.2. Контрольные реставрации

Фиг. 5,14 иллюстрирует применение описанного метода для реставрации импульсной структуры, размытой под действием дифракции. Представленные данные были получены путем моделирования на ЭВМ,

На фиг. 5,15 представлен результат реставрации фотографии двойной щели, размытой из-за дифракции. Щели находились на расстоянии, равном половине релеевского расстояния разрешения, что исключало реставрацию линейными методами. Как видно из фотографии, изображение было искажено довольно сильным шумом; оценочное значение стандартного отклонения шума

составляло . Примечательно, Что действие шума на каждую строку реставраций проявилось лишь в пространственном смещении пары импульсов, которые были восстановлены почти на всех строках. Из-за этого реставрация в целом создает зрительное впечатление колеблющейся двойной щели.

Фиг. 5,14, (см. скан) Реставрации по методу максимума энтропии Фридена (кривыё со звездочками) некоторых импульсных объектов (сплошные кривые). Использовано значение Не показанные на фигуре входные данные генерировались с помощью ЦВМ и искажались чисто дифракционным смазыванием и равномерным случайным шумом с максимальной относительной ошибкой 5%, Чтобы продемонстрировать преимущества данного метода по сравнению с линейными методами реставрации, показаны также реставрации, полученные с помощью инверсной фильтрации в отсутствие шума (кривые с квадратиками).

В применении к изображениям объектов, состоящих из случайных ступенек, рассматриваемый метод дает лишь несколько более хороший результат, чем метод оптимальной линейной фильтрации. Главным недостатком метода в этом случае является появление таких же осцилляций из-за явления Гиббса, какие присущи линейной реставрации. Однако удалось найти способ преодоления этой трудности. Если объект состоит из случайных ступенек, то его производная содержит случайные импульсы, которые хорошо реставрируются описанным методом (см, выше). Поэтому, когда пользователь знает, что интересующий его объект состоит из случайных ступенек, он может продифференцировать данные об изображении и ввести полученные

Фиг. 5,15. (см. скан) Метод максимума энтропии Фридена в приложении к сильно зашумленным данным об изображении. Шум характеризуется величиной а Объект, состоящий из двух щелей, разнесенных на релеевского расстояния разрешения, был размыт в направлении поперек щелей в результате чистой дифракции, создаваемой оптической апертурой щели. Полученное изображение фотографировалось, а затем сканировалось и реставрировалось построчно. Было использовано значение Показаны первые 30 строк входных данных и реставрации. Хотя почти на каждой строке происходит желаемая реставрация двух импульсов, сильный шум в данных приводит к возникновению случайных смещений импульсов. Однако эти смещения йевелики — порядка 1/10 релеевского расстояния разрешения [63].

(кликните для просмотра скана)

числа в алгоритм. При этом выход будет иметь форму Восстановление производится путем интегрирования по полю объекта.

Мы произвели проверку метода для подобных объектов, результаты которой представлены на фиг. 5.16. Изображения (не показанные на фигуре) дифференцировались с помощью конечных разностей между соседними значениями, отстоящими на половину интервала Найквиста. Сравнение с реставрацией тех же объектов при идеальном ограничении полосы частот в соответствии с (5.8) демонстрирует преимущества данного метода: а) гораздо более крутые переходы на границах и б) полное устранение паразитных осцилляций. В отношении способности идентифицировать наличие границ и площадок без появления ложных деталей этот алгоритм также дает лучший результат, чем оценка при идеальном ограничении полосы частот. Однако это оказывается неверным, если производить сравнение на основе среднеквадратичной ошибки. Дело в том, что по методу максимума энтропии высоты площадок определяются обычно неточно. Это объясняется накоплением ошибок при интегрировании по полю объекта, содержащего реставрированные дельта-функции, площади которых подвержены случайным ошибкам. Отсюда можно сделать вывод, что предложенный метод следует использовать в тех случаях, когда более важно определить геометрическую конфигурацию объекта, чем абсолютные уровни яркости.