4.2.2. Теорема 2 (теорема Хуанга)

Физически реализуемый фильтр с -преобразованием где В — полином, устойчив, если и только если: 1) отображение в -плоскость, соответствующее расположено вне области ни одна точка области не отображается в точку при выполнении условия

Доказательство. Требуется доказать, что условия устойчивости теорем 1 и 2 эквиваленты. Очевидно, что из условий устойчивости теоремы 1 вытекают условия устойчивости теоремы 2. Поэтому мы будем доказывать обратное соответствие.

Полином от двух переменных определяет алгебраическую функцию [2] Во-первых, следует видоизменить конфигурацию единичной окружности в -гплоскости, чтобы исключить попадание особых точек функции в область, охватываемую этой окружностью. Модифицированная единичная окружность показана на фиг. 4.5; обозначает замкнутую область, ограниченную контуром Точка называется особой точкой функции если уравнение рассматриваемое как уравнение относительно имеет множество (конечно- или бесконечномерное) корней.

Согласно теории алгебраических функций, функция имеет в области несколько ветвей, каждая из которых является аналитической. Следовательно, как вытекает из теоремы о максимуме модуля, максимум в области располагается на контуре а минимум в области может существовать внутри этой области только в том случае,

Фиг. 4.5. Отображение (по Хуангу).

если он имеет нулевое значение. Однако условие 2 теоремы 2 гласит, что функция в области нигде не равна нулю. Следовательно, минимум расположен на контуре т. е.

откуда следует, что если то таким образом, чтобы гарантировать расположение единичного круга достаточно гарантировать расположение вне области

Мы уже почти достигли цели, но окончательный результат еще не получен. В действительности требуется доказать, что если то где Поскольку обход по контуру может выполняться по любому пути, ведущему от к особой точке, остается только доказать, что где особая точка. Поскольку каждая ветвь непрерывна в точке и поскольку при произвольно малом и при любом 0, имеем (что и требовалось доказать).

Условия теоремы 2 сформулированы для того случая, когда единичная окружность -плоскости отображается в -плос-кость. Однако теорему можно сформулировать и для случая отображения единичной окружности -плоскости в -плоскость. Эта формулировка представлена как следствие 2.

Следствие 2. Физически реализуемый фильтр с -преобразо-ванием (где В — полином) устойчив, если и только если: 1) отображение в -плоскость, соответствующее условию расположено вне области ; 2) ни одна точка области не отображается в точку при выполнении условия

Это следствие можно проиллюстрировать с помощью корневой диаграммы на фиг. 4.4. Здесь отображения единичной

-окружности, очевидно, представляют собой непрерывные контурные линии, построенные по точкам расположения корней В данном примере условие 1 следствия 2 выполняется. Условие 2 следствия 2 также выполняется, поскольку внутренняя область единичного -круга отображается в область, ограниченную отображением единичного -круга, Оба условия удовлетворяются, поэтому фильтр устойчив. Условие 1 следствия 2 гарантирует, что отображение единичной -окружности не пересекает единичного -круга. Условие 2 дополнительно гарантирует, что отображение единичного -круга не пересекает ни одной точки единичного -круга.

На фиг. 4.3 условие 2 не выполняется. Отображение единичной -окружности пересекает единичную -окружность, поэтому фильтр является неустойчивым.

Методика проверки на устойчивость

Чтобы произвести проверку на устойчивость с помощью ремы 2, необходимо отобразить в -плос-кость согласно и проверить, расположено ли отображение вне Кроме того, требуется решить уравнение чтобы проверить, имеется ли хотя бы один корень, значение которого меньше единицы.

Известны два метода применения рассмотренной теоремы как основы процедуры проверки на устойчивость, дающие результат через конечное число шагов. Первый метод основан на использовании проверки Гурвица; описание этого метода дал Хуанг [1]. Второй метод, основанный на использовании матрицы Шура — Кона, был предложен Андерсоном и Джури [3].

Метод Хуанга с использованием проверки Гурвица. Согласно Андерсону и Джури, условия теоремы 2 можно сформулировать следующим образом:

при если и только если удовлетворяются два условия:

Проверка условия (4.12) не вызывает трудностей, поскольку полином от одной переменной, и имеется несколько методов проверки того, все ли его нули расположены вне единичной окружности. Одна группа проверочных процедур основана на замене другим полиномом, получаемым билинейным преобразованием, и проверке последнего на принадлежность к полиномам Гурвица. (Некоторый полином является полиномом Гурвица, если все его нулевые корни имеют

отрицательные действительные части.) Методов же выявления полиномов Гурвица очень много (см., например, [4]).

Метод Андерсона и Джури с использованием матрицы Шура-Кона. Второй метод основан на использовании матрицы Шура—Кона [5, 6, 8]. Это квадратная эрмитова матрица, размер которой равен степени полинома элементы матрицы являются простыми функциями коэффициентов Матрица является отрицательно определенной, если и только если все нули расположены в области Установить тот факт, что матрица является отрицательно определенной, можно, очевидно, путем проверки знаков ее ведущего главного минора.

Некоторые другие методы проверки можно найти в работах [7, 11, 12]. Среди них имеется один метод, обладающий высокой вычислительной эффективностью, который основан на построении рекурсивным способом конечномерного множества полиномов, каждый элемент которого имеет более низкую степень, чем предыдущий, причем является первым элементом этого множества. Рассмотрение некоторых коэффициентов таких полиномов позволяет быстро определить, удовлетворяется условие (4.12) или нет.

Проверка выполнения условия (4.13) более сложна, чем в случае условия (4.12), тем не менее такую проверку можно произвести за конечное число шагов. Как и при проверке условия (4.12), в данном случае можно применить два метода, один из которых основан на использовании результатов работы Ансела и описан Хуангом [1], а другой, представленный Андерсоном и Джури [3], — на использовании матрицы Шура — Кона. Оба метода требуют длительных выкладок. Заинтересованный читатель может обратиться к упомянутым источникам.