2.4.2. Разделимая пространственно-зависимая функция рассеяния точки

В этом случае функция рассеяния точки изменяет свою форму в процессе зондирования плоскости исходного изображения, оставаясь разделимой по прямоугольным координатам. Примерами подобных систем отображения могут служить радиолокаторы бокового обзора и рентгеновские аппараты с прямоугольным антикатодом.

ПЗФРТ может быть представлена в разделенной форме (2.38)

причем в дискретной матричной форме это выражение принимает прежний вид (2.45)

где матрица имеет размер а матрицы имеют размер но не обязательно являются теплицевыми, как в случае ПИФРТ. Приятное следствие возможности представить ПЗФРТ в разделимой форме состоит в упрощении вычислений. Теперь в матричной записи не требуется использовать обозначений лексикографического или пакетного типа. Изображение как и прежде, выражается в виде (2.46)

где оригинал обрабатывается столбцовым оператором и строчным оператором по отдельности. Модель, соответствующая этому уравнению, исходит из условия отсутствия шума и предполагает, что ранг изображения определяется наименьшим из рангов Если требуется инвертировать пространственно-зависимое смазывание, вносимое то может быть получено в виде

в предположении, что инверсные матрицы существуют. Выполнение этого условия практически весьма маловероятно, поскольку большинство систем отображения вызывает невосполнимую потерю некоторых частей оригинала, которые, естественно, уже не могут быть восстановлены. В этом случае может оказаться желательным найти минимальную по норме оценку оригинала произведя псевдоинверсию матриц смазывания так, чтобы получаемые матрицы по рангам соответствовали матрицам смазывания. Псевдоинверсную оценку можно выразить в виде

где означают псевдоинверсии соответственно. Псевдоинверсию матриц, по-видимому, наиболее легко объяснить, используя ее разложение по сингулярным значениям (РСЗ) в форме

и

Тогда имеем

и

Здесь - диагональные матрицы, ненулевые элементы которых равны обратным значениям ненулевых элементов Переходя к векторным обозначениям, получаем

и

причем представляют собой ранги матриц смазывания соответственно. Используя представления с помощью РСЗ и описанные выше псевдоинверсии, можно теперь представить оценку оригинала в виде

или

т. е.

где матрица определяется как

Полезно исследовать элемент матрицы равный

Здесь можно заметить сходство со случаем преобразования Фурье для ПИФРТ, рассмотренным выше. Однако векторы теперь являются уже не столбцами матрицы преобразования Фурье, а векторами базисной системы, определяемой самими матрицами смазывания.

Вычисления для определения численных значений связаны со значительными трудностями, обусловленными шумом машины и ошибками округления. Поэтому становится привлекательной усеченная оценка оригинала

или

Как видно из этих выражений, усеченная оценка оригинала представима в виде разложения в системе с двумерным базисом, определяемой столбцовыми и строчными ортогональными собственными векторами соответствующих матриц смазывания. Поскольку мы получаем псевдоинверсию, которая представляет собой оптимальную минимальную по норме среднеквадратичную оценку исходного изображения [2], разложение, определяемое пространствами оказывается для такой, инверсии наиболее эффективным. Чтобы несколько прояснить смысл этого утверждения, рассмотрим обсуждавшийся выше пример разделимой пространственно-инвариантной функции рассеяния точки в котором матрицы являются циркулянтами. В этом случае (матрица дискретного преобразования Фурье) с элементами Таким образом, выражается посредством преобразования Фурье, при котором производится традиционная инверсная фильтрация,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 2.17. (см. скан) Графики изменения сингулярных значений при различных искажениях: а — сильные искажения; б - средние искажения; в — идеальное отображение (искажения отсутствуют).

Описанный выше анализ был произведен для случая отсутствия шума, при котором обобщенная инверсия (псевдоинверсия) дает в результате оптимальный фильтр для среднеквадратичной оценки. Обобщение на случай аддитивного шума при разделимой ПЗФРТ приводит к обобщенному псевдоинверсному винеровскому фильтру, причем энергетический спектр шума представляется в пространстве а не в двумерном фурье-пространстве.

(кликните для просмотра скана)

Изложенная теория была проверена путем моделирования с использованием матриц размера Чтобы дать читателю лучшее представление о явлениях, происходящих в системе отображения с разделимой пространственно-зависимой функцией рассеяния точки, в качестве входного используется объект в виде 16 точечных источников света (фиг. 2.15 и 2.16). На приведенных иллюстрациях показан один из возможных вариантов разделимого пространственно-зависимого смазывания, при котором в левом нижнем углу изображения обеспечивается лучшая фокусировка, чем в правом верхнем. Методы Фурье в этом случае неприменимы вследствие очевидного пространственно-зависимого характера смазывания. При моделировании горизонтальное и вертикальное смазывания были сделаны одинаковыми. Смазанное изображение представлено на фиг. 2.15 и 2.16 с различной степенью искажений. Условный индекс (отношение наибольшего сингулярного значения к наименьшему), характеризующий искажения, составляет

где под идеальным понимается случай отображения без искажений (т.е. На фиг. 2.17 представлены графики сингулярных значений для этих случаев. Возвращаясь к фиг. 2.15 и 2.16, мы видим, что псевдоинверсия смазанной решетки точечных источников обеспечивает реставрацию со все большей точностью по мере увеличения числа К. В случае сильных искажений псевдоинверсия явно вырождается при при котором и машинный шум становится преобладающим. В случае средних искажений и инверсия остается стабильной даже после 81-й оценки, при которой

Для проверки описанного метода реставрации при пространственно-зависимом смазывании и среднем уровне искажений была использована фотография павиана. Результаты представлены на фиг. 2.18, где видно, что средние искажения подавляют значительную часть деталей, имевшихся в исходном изображении, а псевдоинверсные оценки растущих порядков обеспечивают восстановление все большего количества деталей изображения.