1.3. Двумерные преобразования

Остальная часть данного введения посвящена пояснениям к последующим главам книги. Некоторые из этих пояснений, возможно, станут более понятными после прочтения соответствующих глав.

В гл. 2 Эндрюс рассматривает двумерные преобразования в обобщенной форме разложений по внешним произведениям. Основные сведения о преобразованиях и быстрых алгоритмах их вычисления читатель может найти в книге Эндрюса [8]. Наиболее интересную часть гл. 2 составляют, по-видимому, приложения так называемого разложения по сингулярным значениям (РСЗ) к обработке и, в частности, к реставрации изображений. Как показано в этой книге, РСЗ тесно связано с псевдоинверсией матриц. Глубокий анализ данного предмета содержится в книге Ланцоша [9].

При реставрации изображений применение РСЗ особенно эффективно для борьбы с шумом, присутствующим во всех искаженных изображениях. Используя обозначения гл. 2, представим неразделимое линейное пространственно-инвариантное искажение в виде

где матрицы-столбцы, содержащие отсчеты исходного объекта и искаженного изображения соответственно. Количество элементов в не обязательно должно быть одинаковым.

Фиг. 1.1. а — оригинал; б - размытое изображение с аддитивным гауссовым шумом (среднее значение 0, среднеквадратичное отклонение 0,1); в — размытое изображение с аддитивным гауссовым шумом (среднее значение 0, среднеквадратичное отклонение 0,5).

Прямоугольная матрица находится из импульсной характеристики искажающей системы; я — матрица-столбец, содержащая отсчеты шума. Шум может образовываться, например, в результате действия детектора излучения. Задача состоит в следующем: даны оценить

Хорошей оценкой является

где псевдоинверсия по Муру — Пенроузу. Приятное свойство псевдоинверсии состоит в том, что она всегда существует, так что нам не нужно беспокоиться о том, имеет ли система линейных уравнений (1.1) решение и является ли оно единственным. Фактически представляет собой минимальное по норме решение системы (1.1), полученное по методу наименьших квадратов при В присутствии шума имеем

где первый член в правой части представляет собой минимальную по норме оценку, полученную по методу наименьших квадратов в отсутствие шума, а второй член — добавку, вносимую шумом. К сожалению, во многих случаях действие шума оказывается преобладающим, и сигнальная часть (1.3) может быть полностью замаскирована.

Применение РСЗ для вычисления псевдоинверсии позволяет полностью исправить это положение. Как указано в гл. 2, имеется возможность построить обобщенный винеровский фильтр. Однако для демонстрации эффективности РСЗ достаточно просто заметить, что ценой увеличения шума можно улучшить качество

Фиг. 1.2. Изображение, полученное реставрацией фиг. 1.1,6 с использованием РСЗ. Для изображений а, б, в и г использовано соответственно 50, 48, 42 и 36 членов.

сигнала, выбирая число членов, используемых при РСЗ псевдоинверсии. Используя РСЗ [Н] преобразуем (1.3) к виду

где собственные векторы соответственно, а собственные значения. В общем члены первой суммы имеют более или менее сравнимые значения, в то время как значения членов второй суммы растут пропорционально расположены в порядке убывания амплитуд). С увеличением числа используемых членов в суммах, входящих в (1.4), первая сумма все сильнее приближается к исходному объекту, а отношение сигнал/шум (отношение первой суммы ко второй) становится все меньшим. Желательно получить разумное соотношение между этими двумя эффектами. Одна из возможностей состоит в том, чтобы остановиться на члене, при котором значение шума становится сравнимым со значением сигнала. Лучший вариант получается, если следить за результатом суммирования после добавления каждого нового члена и остановить процедуру по достижении визуально наилучшей реставрации.

Фиг. 1.3. Изображение, полученное реставрацией фиг. 1.1, в с использованием РСЗ. Для изображений а, б и в использовано соответственно 44, 38 и 32 члена.

На фиг. 1.1-1.3 показаны примеры реставрации, полученные путем моделирования на ЦВМ. Исходным изображением служила цифра 5, дискретизированная на точек. Матрица размера 8X8, представляющая квантованный исходный объект, показана на фиг. 1.1, а. Каждой точке внутри цифры придано значение 7, а каждой точке вне ее — значение 0. Это изображение было смазано путем замены каждой его точки средним значением девяти точек, образующих блок размером 3X3, сцентрованный относительно рассматриваемой точки. После этого к изображению был добавлен случайный гауссов шум. Два искаженных изображения показаны на фиг. 1.1,6 и в, причем среднеквадратичное отклонение шума в этих изображениях составляет 0,1 и 0,5 соответственно.

Реставрация выполнялась с использованием выражения

Для каждого искаженного изображения испытывались значения и контролировались все 64 реставрации. Некоторые из отобранных реставрированных изображений показаны на фиг. 1.2 и 1.3. Эти изображения воспроизводились на электростатическом плоттере с модуляцией плотности точек. Каждая точка изображения размера 8X8 представлялась квадратным блоком. Оценка 64 собственных значений показала, что 15 из них практически не отличаются от нуля (они гораздо меньше остальных значений). Отсюда с очевидностью следует, что при вычислении (1.5) не требуется использовать более 49 членов. Это иллюстрирует фиг. 1.2, а. Следует, однако, отметить, что при сильном шуме может оказаться желательным использование еще меньшего количества членов. Так, для

искаженного изображения на фиг. 1.1, в визуально наилучшую реставрацию дают, по-видимому, 38 членов, как видно из фиг. 1.3.

Мы убедились, что метод вычисления псевдоинверсии с помощью РСЗ вполне пригоден для реставрации изображений, подвергнутых действию шума и линейных искажений. Однако этому методу присущ один существенный недостаток: даже при изображениях среднего размера требуется находить собственные векторы и собственные значения очень больших матриц. Например, для изображения точек получится матрица . В гл. 2 показано, что если искажающая импульсная характеристика разделима, то задачу можно существенно упростить. Однако интересно, что можно сделать, когда импульсная характеристика неразделима. Одна из возможностей, о которой говорится в гл. 2, состоит в аппроксимации неразделимой импульсной характеристики суммой разделимых характеристик. Другой подход заключается в следующем. Пространственная протяженность искажающей импульсной характеристики обычно гораздо меньше, чем протяженность изображения. Поэтому размер матрицы можно сократить путем разбиения искаженного изображения на фрагменты меньшего размера (которые остаются все же гораздо большими, чем искажающая импульсная характеристика) и реставрировать каждый фрагмент в отдельности. При этом возникает проблема, связанная с краевым эффектом. Дело в том, что точки каждого фрагмента, лежащие вблизи границы, зависят от точек соседних фрагментов, так что теоретически нельзя считать один фрагмент независимым от других. Математическое решение этой проблемы в настоящее время не известно. Однако в одной работе [10] указывается, что можно воспользоваться методом Винера — Хопфа. Практически, чтобы использовать метод разбиения, следует образовать перекрывающиеся фрагменты, реставрировать каждый из них в отдельности, а затем исключить границы.