3. Двумерные нерекурсивные фильтры

Дж. Фиасконаро

Данная глава посвящена главным образом рассмотрению четырех методов проектирования двумерных нерекурсивных цифровых фильтров. Это следующие методы: применение функций окна, частотная дискретизация, прямое применение линейного программирования и новый алгоритм, разработанный автором. Все теоретические сведения, необходимые для понимания четырех перечисленных алгоритмических методов, содержатся в разделе 3.1. В этом разделе рассматриваются двумерные дискретные системы общего вида, некоторые аспекты теории линейной аппроксимации и применение линейного программирования к проектированию фильтров. Раздел 3.2 содержит подробное описание всех четырех методов и примеры фильтров, спроектированных двумя рассмотренными методами. В разделе 3.3 дано краткое содержание главы и сделаны некоторые выводы.

Первые три метода (т. е. применение функций окна, частотная дискретизация и прямое применение линейного программирования) являются непосредственными обобщениями соответствующих методов проектирования одномерных нерекурсивных цифровых фильтров [1-5]. Только третий из этих методов пригоден для проектирования фильтров, оптимальных в том смысле, что максимальное абсолютное значение (чебышевская норма) ошибки принимает минимальное значение. В число других методов проектирования оптимальных нерекурсивных цифровых фильтров входит второй алгоритм Ремеза [6], а также методы, разработанные Херрманом [7], Хофстеттером и др. [8] и Парксом и Макклелланом [9]. К сожалению, ни один из этих методов не обобщается просто на двумерный случай.

Подход, основанный на прямом применении линейного программирования, в двумерном случае оказывается не таким эффективным, каким он является в одномерном случае. Это объясняется тем, что при заданном числе неизвестных коэффициентов импульсной характеристики в первом случае требуется иметь намного больше точек с ограничениями, чем во втором случае. Разработка нового алгоритма проектирования оптимальных двумерных фильтров преследовала цель решить эту проблему.

Новый алгоритм итеративен по своей сути, причем линейное программирование используется в нем как метод оптимизации; однако следует указать, что в каждой итерации достаточно иметь лишь небольшое число точек с ограничениями.

Новый алгоритм превосходит метод прямого применения линейного программирования, поскольку: а) «хорошие» аппроксимации обычно вычисляются быстро, причем эти аппроксимации всегда можно улучшить просто путем вычисления дополнительных итераций; б) наилучшие аппроксимации удается получить даже при чрезвычайно высокой плотности множества точек; в) обеспечивается возможность расчленить объемную задачу линейного программирования на ряд небольших задач. К сожалению, новый алгоритм оказался не таким эффективным с вычислительной точки зрения, как ожидалось. Имевшиеся вычислительные средства ограничивали его применение проектированием фильтров, импульсная характеристика которых содержала не более 50 независимых коэффициентов.