4. Двумерная рекурсивная фильтрация

Р. Рид, Дж. Шэнкс, С. Трейтел

4.1. Введение

Определение рекурсивного фильтра через понятия z-преобразования

Двумерный цифровой рекурсивный фильтр характеризуется двумерной передаточной функцией

Здесь константы. Без ущерба для общности можно полагать, что Пусть есть -преобразование входного массива; тогда -преобразование массива на выходе фильтра с передаточной функцией выражается в виде

Решая уравнение относительно получаем

поскольку здесь -преобразование массива на выходе фильтра. Значение каждого выходного отсчета можно выразить через значения уже вычисленных отсчетов

Физическая реализуемость

Согласно принятой здесь системе обозначений, обозначают единичные задержки по горизонтали и вертикали соответственно. Выражение (4.3) описывает фильтр с рекурсией в направлении положительных тип. Можно образовать рекурсивный фильтр с рекурсией в любом из трех других диагональных направлений, если произвести нормирование относительно

Фиг. 4.1. Четыре направления рекурсии (по Хуангу).

коэффициентов соответствующего угла массива В. Такую возможность иллюстрирует фиг. 4.1 (где для упрощения принято Рекурсивный фильтр с рекурсией в направлении положительных тип называется «физически реализуемым». В случае отсутствия каких-либо оговорок будем считать, что (4.1) описывает физически реализуемый рекурсивный фильтр.

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика рекурсивного двумерного фильтра представляет собой сигнал на его выходе в том случае, когда входной сигнал задается матрицей элемент которой равен единице, а остальные элементы равны нулю. Можно также считать, что импульсная характеристика рекурсивного цифрового фильтра есть разложение в двумерный степенной ряд функции (4.1).

Применение рекурсивного цифрового фильтра для обработки двумерного массива данных возможно при соблюдении двух условий: во-первых, фильтр должен быть правильно спроектирован и, во-вторых, должен быть обеспечен ввод данных в фильтр. Проектирование рекурсивных фильтров требует решения двух основных проблем: проблемы аппроксимации и проблемы устойчивости. Первая заключается в выборе таких коэффициентов фильтра, чтобы его характеристики удовлетворяли тому или иному выбранному критерию. Обычно требуется обеспечить заданную частотную характеристику. Однако в

некоторых случаях требуется выбрать такие коэффициенты цифрового фильтра, чтобы его импульсная характеристика аппроксимировала заданную импульсную характеристику.

Абсолютная устойчивость

Проблема устойчивости сводится к наложению ограничений на коэффициенты фильтра таким образом, чтобы его импульсная характеристика удовлетворяла условию

где импульсная характеристика фильтра. В неустойчивом фильтре любой шум, включая ошибки округления при выполнении вычислений, появится на его выходе и будет усилен.

Начальные условия

В случае физически реализуемого фильтра часто используют нулевые начальные условия, устанавливаемые перед вводом данных в фильтр (см. фиг. 4.2, где для упрощения принято снова Результат воздействия двумерного фильтра на данные отдаленно напоминает реакцию одномерного фильтра на ступенчатую функцию. Если при причем мало по сравнению с длиной входного и выходного массивов по обоим направлениям, то в самом начале функционирования фильтра эффект ступенчатого возмущения будет проявляться в минимальной степени. Таким образом, в некоторых случаях для обеспечения устойчивости недостаточно удовлетворить только условию (4.4), а требуется иметь быстро спадающую импульсную характеристику,

Фиг. 4.2. Начальные условия для физически реализуемого фильтра (по Хуангу).