2.2. Математическое представление

2.2.1. Представление изображения в ортогональном базисе

Различные аспекты цифровой обработки изображений нельзя рассматривать в отрыве от цифрового запоминания двумерных массивов чисел, представляющих отдельные значения яркости, полученные из исходной фотографии или сцены либо определенные с помощью телевизионной передающей трубки. Однако дикретизированное и квантованное изображение представляет собой просто матрицу положительных чисел (возможно, довольно большого размера), над которой в ЦВМ могут производиться линейные и нелинейные операции широкого класса. Поэтому цифровая обработка изображений может быть сведена к

анализу манипуляций с большими матрицами, связанных с выполнением таких операций обработки, как преобразование, разложение, представление и реставрация. В данном разделе некоторые из таких операций исследуются с использованием аппарата матричной алгебры и, в частности, векторных внешних произведений.

Условимся рассматривать матрицу как дискретизированное и квантованное изображение; при этом строка и столбец матрицы соответствуют пространственным координатам х и у изображения Таким образом, можно записать

где нелинейный оператор выражает действие дискретизатора и квантователя. Примем, что имеет размер Методы, пригодные для изображений, выражаемых неквадратными матрицами, рассматриваются в значительной части литературы; однако мы здесь воздержимся от их обсуждения, поскольку это не может существенно повлиять на излагаемые принципы. Обобщенное линейное разделимое преобразование матрицы изображения может быть записано в виде

где изображение, подвергнутое унитарному преобразованию, и унитарные операторы, а индекс обозначает транспонирование матрицы. Унитарность и означает, что

Отсюда следует, что преобразование, обратное (2.9), можно записать в виде

Если раскрыть обозначения записав

где векторы, образованные из столбцов и то получим

Если матрицу а записать в виде суммы

то отсюда следует, что

Внешнее произведение можно интерпретировать как «изображение», так что сумма по всем комбинациям внешних произведений с соответствующими весами восстанавливает исходное изображение Для некоторых видов преобразований такой подход позволяет дать исключительно удобную интерпретацию аппроксимаций с сохранением выбранных коэффициентов.

В качестве графической иллюстрации этого процесса рассмотрим пример на фиг. 2.2, а. Здесь изображение разлагается в сумму матриц ранга 1 с соответствующими коэффициентами Матрицы ранга 1 представляют двумерные базисные изображения, примерами которых служат тригонометрические функции для разложения по Фурье и бинарные функции для разложения по Уолшу.

Выбор преобразований, выражаемых матрицами и вполне произволен. Эти матрицы могут выбираться как из одних и тех же, так и из различных базисных функций. Так, например, матрица может быть составлена из функций Уолша, из функций Фурье, т. е. синусов и косинусов. В этом частном случае столбцы матрицы изображения разлагаются в ряд по функциям Уолша (прямоугольным функциям), а строки — в ряд по комплексным экспонентам (синусам и косинусам).

Хотя это и не следует явно из (2.16), при соблюдении определенных условий это выражение можно интерпретировать как разложение по сингулярным значениям (РСЗ), а в данном случае — как разложение изображения по его сингулярным векторам [1, 2]. Если диагональная матрица ранга (т. е. если в имеется лишь положительных диагональных элементов) то

Фиг. 2.2. (см. скан) Разложение изображения по внешним произведениям: а — разложение по матрицам ранга 1; б - разложение по сингулярным значениям

Здесь — квадратные корни из сингулярных значений (т. е. сингулярные векторы. Другой, более традиционный способ изложения строится на следующих определениях:

и

где диагональная матрица собственных значений столбцы собственные векторы а столбцы собственные векторы Симметрия и квадратность гарантируют действительность и ортогональность множеств собственных векторов

Из (2.17) с очевидностью следует, что уменьшение влечет за собой сокращение числа степеней свободы, определяющих изображение Располагая собственные значения в порядке монотонного убывания, мы получаем наиболее эффективное среднеквадратичное представление изображения с помощью наименьших (усеченных) множеств сохраняемых составляющих Этот факт используется в следующем разделе. Кроме того, метод РСЗ обеспечивает удобный переход к псевдоинверсии матриц, что имеет важное значение для обсуждаемой ниже реставрации изображений в случае разделимой пространственно-зависимой функции рассеяния точки.

Резюмируя, заметим, что РСЗ состоит просто в определении сингулярных (или собственных) векторов для Затем полученные сингулярные векторы и значения могут быть использованы для эффективного (в среднеквадратичном смысле) представления изображения Тот, кто знаком с методом разложения на главные компоненты, может отождествить матрицы с выборочными строчными и столбцовыми ковариационными матрицами; при этом РСЗ подобных статистически определенных процессов переходит в разложение изображения по собственным изображениям. Однако читателю следует воздержаться от вывода, что метод РСЗ совпадает с разложением Карунена — Лоэва. В действительности эти разложения не одинаковы, и их различия обсуждаются в последующих разделах.

Обращаясь вновь к фиг. мы видим, что РСЗ изображения содержит лишь членов с весовыми коэффициентами, которые выражаются корнями из соответствующих сингулярных значений. Входящие в это разложение матрицы ранга 1 также представляют собой ортогональные базисные изображения, но «настроенные» непосредственно на данное конкретное изображение, благодаря чему они обеспечивают единственное разложение по оптимальному базису.