2.4.1. Разделимая пространственно-инвариантная функция рассеяния точки

Этот случай отображения представляет собой, по-видимому, хорошее приближение первого порядка для правильно скорректированных линейных систем. Пространственно-инвариантная функция рассеяния точки подразумевает, что функциональная

форма импульсной характеристики не зависит от расположения точечного источника света (или импульсной характеристики) в плоскости исходного изображения. Предположение о разделимости подразумевает разделимость импульсной характеристики по прямоугольным координатам в виде (2.37)

В векторных обозначениях, соответствующих (2.6), получаем

где — теплицевы матрицы, знак прямого, или кронекерова, произведения матриц. Благодаря прямоугольной разделимости импульсной характеристики мы можем использовать матричную форму записи без привлечения пакетного оператора:

где определяет смазывание столбцов, — строк оригинала Поскольку матрица может быть неквадратной, а также поскольку матрицы смазывания могут оказаться сингулярными и вызывать невосполнимую потерю некоторых проявлений оригинала, инверсия искажений переходит в их псевдоинверсию. Однако если мы произведем «циркуляризацию» задачи, т. е. превратим матрицы смазывания в циркулянты (что эквивалентно периодическому повторению в соответствующих плоскостях), то преобразование Фурье (2.35) обеспечит диагонализацию матриц смазывания. Это приводит к циклической свертке, и можно записать

Подставляя эти выражения в (2.46), получаем

Поскольку матрица унитарна, а матрица диагональна, оригинал можно выразить в виде

где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Однако внутренняя часть этого выражения представляет собой просто двумерное преобразование Фурье изображения взвешенное посредством обратных значений коэффициентов Фурье матрицы смазывания. Следовательно,

где

а представляет собой столбец матрицы преобразования Фурье, благодаря которому делается равным коэффициенту Фурье изображения. При этом матрица может быть интерпретирована как инверсно фильтрованное преобразование Фурье изображения. Тогда исходное изображение (оригинал) получается в виде двумерного преобразования матрицы как следует из (2.506). Из приведенного анализа вытекает, что устранение разделимого пространственно-инвариантного смазывания обеспечивается традиционной инверсной фурье-фильтрацией.