3.2.3. Прямое применение линейного программирования

Как уже указывалось, если импульсную и частотную характеристики нерекурсивного цифрового фильтра считать чисто действительными, то (непрерывную) частотную характеристику можно записать в виде линейной функции коэффициентов импульсной характеристики или частотных отсчетов В первом случае частотная характеристика определяется согласно (3.5). Соответствие между частотной характеристикой и частотными отсчетами ДПФ дает (3.15). Пользуясь этими соотношениями, нетрудно записать равенства ограничений следующего вида:

где искомая частотная характеристика. Линейное программирование позволяет минимизировать пульсации с учетом матрицы ограничений, которая определяется путем составления пары уравнений ограничений для каждой точки с ограничениями. Точки с ограничениями должны быть расположены достаточно плотно, чтобы можно было считать, что значения частотной характеристики между точками с ограничениями близки к ее значениям в этих точках, но не настолько плотно, чтобы задача была нерешаемой вследствие вычислительных трудностей.

Уравнения ограничений можно также записать в более общем виде:

где действительная весовая функция. Последняя позволяет влиять на функцию ошибки полученной аппроксимации в желательном направлении. Если речь идет о фильтрах (таких, как фильтры нижних и верхних частот и полосовые фильтры) с резко ограниченными полосами пропускания и задерживания, то можно использовать весовую функцию для получения различных пульсаций в этих полосах. Соответствующая весовая функция определяется в виде

Величина результирующих пульсаций в полосе задерживания в а раз (самое большее) превышает величину результирующих пульсаций в полосе пропускания.

Пусть импульсная характеристика фильтра имеет нулевое значение вне области а импульсная и частотная характеристики являются действительными. При таком условии число независимых коэффициентов импульсной характеристики или частотных отсчетов ДПФ равно причем точки с ограничениями должны заполнять область Вообще говоря, для получения наилучшей аппроксимации искомой частотной характеристики необходимо использовать все эти переменные. Однако с увеличением число переменных быстро растет, а время, которое требуется для получения решения с помощью линейного программирования, возрастает еще быстрее. Следовательно, целесообразно наложить рассмотренные выше ограничения по симметрии, что позволит уменьшить число переменных и требуемое число точек с ограничениями. Если принять, что то число переменных уменьшается до а область, которую должны заполнить точки с ограничениями, сокращается вдвое. Дополнительное допущение приводит к уменьшению числа переменных до и к новому сокращению вдвое площади, заполняемой точками с ограничениями. Наложение всех этих ограничений по симметрии обеспечивает резкое сокращение времени вычислений. Дополнительные сведения по этому вопросу приводятся ниже.

Если принять лишь одно допущение о действительности импульсной и частотной характеристик фильтра, то точки с ограничениями должны плотно заполнять область Практически при вычислении «непрерывной» частотной характеристики фильтра используется -точечное БПФ, поэтому фактически заполняется область Точки с ограничениями расположены в узлах прямоугольной решетки с шагом причем принимается, что импульсные характеристики простираются от до в каждом из двух направлений, К — целочисленная константа (обычно выбираемая в пределах от 5 до 15). Рассмотрим следующий пример. Требуется спроектировать фильтр нижних частот с круговыми границами частотной характеристики, причем радиус границы полосы пропускания составляет а радиус границы полосы задерживания В качестве точек с ограничениями фактически используются только те точки решетки, которые одновременно удовлетворяют двум условиям вида

Кроме того, имеются точки с ограничениями, расположенные непосредственно на каждой из двух границ. Полное число точек с ограничениями, принадлежащих границам полос, равно целочисленной части результата

для границы полосы пропускания и

для границы полосы задерживания. Эти точки равномерно размещены на границах с угловым шагом

причем начальный угол равен

На фиг. 3.5 показан пример размещения точек с ограничениями для

Если принимается, что импульсная и частотная характеристики являются действительными и, кроме того, удовлетворяют

Фиг. 3.5. Размещение точек с ограничениями (случай 1): X — точки с ограничениями; неиспользуемые точки решетки.

условиям то точками с ограничениями заполняется вдвое меньшая область Практически частотная характеристика вычисляется с использованием точек БПФ, распределенных по области Как и в предыдущем случае, точки с ограничениями размещены в узлах прямоугольной решетки с шагом Более того, если речь идет о фильтре нижних частот, то в качестве точек с ограничениями фактически используются только те точки, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям (3.17а) и (3.176). Как и прежде, также имеются точки с ограничениями непосредственно на границах полос. В данном случае полное число точек с ограничениями на границах равно целочисленной части результата

для границы полосы пропускания и

для границы полосы задерживания. Если вычисленное по этим формулам или оказывается меньше двух, ему придают значение два. Точки равномерно размещены на границах полос с угловым шагом (начальный угол равен нулю)

Фиг. 3.6. Размещение точек с ограничениями (случай 2): -точки с ограничениями; неиспользуемые точки решетки.

На фиг. 3.6 показан пример размещения точек с ограничениями для рассматриваемого случая при и

Во всех фильтрах, спроектированных автором указанным методом, частотная характеристика выражалась в виде линейной функции коэффициентов импульсной характеристики. Однако [25] приводит примеры спроектированных им фильтров, для которых частотная характеристика выражается в виде линейной функции частотных отсчетов ДПФ [см. (3.15)]. При этом использовалось то же плотное множество точек с ограничениями, которое было использовано при проектировании ряда фильтров методом частотной дискретизации. Если массив частотных отсчетов имеет размерность то точки с ограничениями следует выбирать из точек, составляющих решетку. В качестве точек с ограничениями используют только точки, расположенные на половине одного квадранта, а точки решетки в переходной полосе не учитывают.

Собственно оптимизация выполняется после выбора числа и положения точек с ограничениями. Конкретная реализация этой операции, однако, существенно зависит от особеностей используемого комплекса линейного программирования, поэтому никаких подробных сведений здесь не приводится. Автор пользовался комплексом программ линейного программирования, который является одной из программных систем фирмы ИБМ,

носящей название «Система математического программирования/360» (регистрационный номер Использовалась ЦВМ типа ИБМ 360/67.