3.1. Теория

3.1.1. Двумерные дискретные системы

Двумерная дискретная система есть оператор который отображает входной массив в выходной массив где пит принимают положительные и отрицательные целочисленные значения. Пусть система называется линейной, если

для произвольной константы с. Более того, если

для произвольных целых чисел и то, то система является инвариантной по отношению к сдвигу.

Единичный импульс определяется выражением

Очевидно, что любой массив можно записать в виде суммы произведений констант на смещенный единичный импульс:

где константа Итак, если то

Импульсная характеристика системы определяется выражением

Поэтому

Таким образом, выходной массив системы получается путем свертки ее входного массива с импульсной характеристикой этой системы. Можно показать, что

Если тождественно равна нулю за пределами некоторой ограниченной области, то соответствующий фильтр называется нерекурсивным. В этом случае бесконечные пределы суммирования в (3.1) и (3.2) могут быть заменены конечными пределами. При этом каждый отсчет массива на выходе нерекурсивного фильтра представляет собой конечную взвешенную сумму отсчетов входного массива.

Цифровой фильтр называют устойчивым, если выходной массив остается ограниченным при любом ограниченном входном массиве. Цифровой фильтр устойчив тогда и только тогда, когда

На практике такую проверку бывает очень трудно выполнить, если фильтры не являются нерекурсивными [10, 11]. Однако для нерекурсивных фильтров этой трудности не существует. В этом случае сумма всегда должна быть ограниченной, поскольку имеет нулевое значение за пределами конечной области.

Пусть входной массив имеет вид

где Легко показать, что при этом

Таким образом, комплексная экспонента является собственной функцией системы. Двойную сумму в (3.3) можно трактовать как передаточную функцию эта функция непрерывна и периодична по обеим осям причем период составляет Точно так же двойную сумму в (3.3) можно трактовать как разложение в двумерный ряд Фурье. Следовательно, можно выразить через в виде

Двумерное z-преобразование есть обобщение передаточной функции; z-преобразование произвольного массива выражается в виде

где комплексные переменные. Передаточная функция представляет собой особый случай z-преобразования при z-Преобразование выходного массива цифрового фильтра есть произведение -преобразования входного массива на z-преобразование импульсной характеристики, т. е.

Обратное z-преобразование получают, последовательно подвергая (одномерному) обратному z-преобразованию и обратному -преобразованию [12].

Все представленные до сих пор теоретические сведения о двумерных дискретных системах получены путем прямого обобщения теории одномерных дискретных систем [13]. Оцнако в некоторых случаях такое обобщение невозможно. Если в одномерной системе -преобразование выражается в виде рациональной функции, то тогда числитель и знаменатель можно факторизовать и определить полюсы и нули данного -преобразо-вания. Когда положение полюсов становится известным, можно выполнить обратное z-преобразование для каждой возможной области сходимости z-преобразования.

В случае двумерных систем возникают две трудности. Во-первых, в общем случае полином невозможно факторизовать по двум (или большему числу) переменным; кроме того, такой полином, как правило, тождественно равен нулю в некотором непрерывном интервале значений двух переменных, а не в ограниченном числе дискретных точек. Во-вторых, четырехмерность -пространства делает невозможным графическое представление областей сходимости; графическое представление подобных

областей в -плоскости для функций одной переменной не представляет никаких затруднений. Указанные две трудности не позволили разработать теорию многомерных -преобразований настолько же глубоко, насколько разработана теория одномерных -преобразований.

При пользовании цифровой вычислительной машиной предпочтительно иметь дело с массивами, принимающими нулевое значение за пределами определенной ограниченной области. Кроме того, желательно, чтобы преобразование какого-то массива представляло собой другой массив, а не непрерывную функцию. Эта проблема решается с помощью дискретного преобразования Фурье. Если тождественно равна нулю при и при то дискретное преобразование Фурье записывается как

где Следует отметить, что такое преобразование дает только независимых значений и эти значения являются отсчетами -преобразования функции определенными через равные интервалы при условии Обратное ДПФ определяется как

Далее, если являются соответственно, то обратное ДПФ произведения есть циклическая свертка что является аналогией одномерного случая. Эту операцию можно свести к линейной свертке, если соответствующим образом дополнить массивы нулевыми значениями, прежде чем производить над ними

Обычно двумерное ДПФ вычисляется с использованием алгоритма одномерного быстрого преобразования Фурье Эта возможность обусловлена тем, что ДПФ можно записать в виде

Сумма в скобках есть одномерное ДПФ строк массива преобразующее его в новый массив столбцы которого затем подвергаются другому одномерному В результате получается В общем случае требуется вычислить

одномерных Однако часто оказывается возможным существенно уменьшить указанное число преобразований, если воспользоваться определенными свойствами преобразуемых массивов.