5.12. Возможности экстраполяции полосы частот

Стандартный метод фильтрации, определяемый выражениями (5.30а) и (5.306), ограничивает спектральные операции пределами конечной полосы частот причем оптическая граничная частота). С другой стороны, опытный пользователь может заметить, что иногда реставрированный спектр оказывается весьма гладкой функцией в пределах обрабатываемой полосы частот Если принять не лишенное смысла допущение, что остается гладким на частотах пользователя может появиться стимул экстраполировать за пределы абсолютной граничной частоты так что условие будет выполняться для Если бы экстраполяцию удалось выполнить корректно, то это позволило бы получить выигрыш в разрешении, пропорциональный расширению полосы частот; см. (5.40). Насколько корректна подобная экстраполяция? Насколько снльная экстраполяция требуется для достижения измеримого эффекта?

Чтобы подойти к решению этих проблем, предположим для простоты, что объект состоит из двух точек одинаковой яркости с расстоянием а между ними:

Обозначим через реставрированный выход, полученный с помощью идеальной спектральной реставрации при Далее рассмотрим, насколько сильная экстраполяция, измеряемая отношением необходима для того, чтобы разрешить две точки на выходе Полагая, что наблюдение ведется невооруженным глазом, будем исходить из критерия Релея и считать две точки разрешенными, когда глубина седловины между ними составляет приблизительно 20%.

Расстояние а полезно представить как долю релеевского расстояния разрешения

Будем считать, что чем меньше тем больше требуемое относительное расширение полосы частот для разрешения двух точек.

Спектр объекта находится как от (5.78а) и имеет вид

Предполагается, что этот спектр полностью известен во всей обрабатываемой полосе частот Поэтому для получения итоговой оценки подставим (5.78в) в формулу обратного преобразования (5.30в), откуда получим

В соответствии со сказанным выше будем считать, что для разрешения двух точек должна иметь при седловину глубиной по меньшей мере 20% отношению к значениям при или, учитывая тождество (5.786), при Согласно искомое отношение составляет

Путем непосредственной подстановки в (5.78д) пробных значений определяем, что требуемая седловина глубиной в 20% обеспечивается приблизительно при

Отсюда получаем интересные примеры: если (т. е. точки объекта разнесены на половину релеевского расстояния разрешения), то требуемое относительное расширение полосы частот

Фиг. 5.8. Спектр двухточечного объекта в виде косинусоиды. Какой участок косинусоиды требуется для разрешения двух точек, если используется преобразование Фурье этого участка? Фактически достаточно участка шириной Участок шириной а соответствует полосе частот оптики. Его преобразование Фурье не обеспечивает разрешения двух точек. Однако для того, чтобы добиться разрешения этих точек, требуется сгладить спектральную кривую и увеличить ширину рабочего участка всего лишь от а до (необходимо расширение на если же то требуемое расширение составляет , т. е. значительно выше, чем в первом примере.

Все требуемые экстраполяции (для различных ) фактически имеют границей одну и ту же точку косинусоиды (5.78в), выражающей спектр объекта. Подставляя из (5.79) вместо со в (5.78в), находим значение

которое соответствует точке несколько дальше первого нуля косинусоиды. Следовательно, чтобы разрешить точки двухточечного объекта, в оценку должна быть введена лишь весьма небольшая доля всего спектра описывающего такой объект. Кроме того, этот спектр (косинусоида) весьма гладок (почти линеен) до значения (5.80). Описанный случай иллюстрирует фиг. 5.8.

Таким образом, при решении задачи разрешения двухточечного объекта требуемая экстраполяция простирается лишь несколько дальше первого нуля спектра объекта (выражаемого косинусоидой); экстраполяция захватывает только весьма гладкую, почти линейную часть спектра; чтобы обеспечить разрешение объектов на расстоянии, составляющем около релеевского расстояния разрешения, требуется расширение полосы частот приблизительно лишь на 50%.

Было бы неправильно объявить, что изложенное доказывает реализуемость методов экстраполяции. Однако мы показали, что метод экстраполяции, позволяющий получить гладкое продолжение данной кривой может оказаться эффективным для объектов, которые имеют гладкие спектры. Одним из классов таких объектов являются последовательности дельта-функций, разнесенных на небольшие расстояния, как в. рассмотренном примере.

Как негативное следствие изложенного следует указать, что объект, содержащий большое количество импульсов с небольшими интервалами (например, в виде гребенчатой функции Дирака), не может быть эффективно реставрирован с помощью метода экстраполяции, поскольку его спектр сам подобен гребенчатой функции и, следовательно, отнюдь не гладок. По-видимому, этот вывод практически согласуется с обсуждаемыми ниже опытными даннымн.