5.9. Инверсная фильтрация

Уравнение (5.29) может быть формально решено относительно в виде

Очевидно, что на частотах, где конечно, а отношение достаточно мало, аппроксимация выражения (5.34) в виде

обеспечивает точную реставрацию О. В этом и состоит метод инверсной фильтрации, называемый иногда также методом компенсации функции передачи или частотной характеристики. Если воспользоваться терминологией раздела 5.8, то функция фильтрации

используемая в этом методе, служит для получения полной функции передачи

и полной функции рассеяния

Величина представляет собой полосу частот, в которой производится обработка методом фильтрации. Из (5.37) и (5.33) с очевидностью следует, что желательно иметь как можно

большим; в пределе при стремится к Однако свойство оптического изображения таково, что

где пропорциональна наименьшей оптической апертуре в системе отображения. Поэтому в (5.36) оказывается неопределенным, если не соблюдается условие

Таким образом, при инверсной фильтрации качество сигнала ограничивается полной для которой расстояние разрешения (т. е. координата первого нуля по оси выражается как

а наибольший боковой лепесток составляет около . Однако здесь следует подчеркнуть, что (5.40) не есть наименьшее для любых фильтров с полосой пропускания Далее это будет четко показано на примерах. Рассмотрение других проблем, связанных с шумом, отложим пока на более поздний срок. Наконец, следует упомянуть проблему изолированных нулей в пределах обрабатываемой полосы частот; ее обсуждение см., например, в работе Сондхи [26].

Несмотря на все эти проблемы, именно инверсная фильтрация обеспечила получение самых впечатляющих примеров улучшения больших изображений. Пример улучшения приведен на фиг. 5.2. Своему широкому применению инверсная фильтрация обязана главным образом использованию алгоритма быстрого преобразования Фурье (раздел 5.7), который благодаря высокой скорости позволяет осуществлять преобразование Фурье над большими двумерными массивами отсчетов изображения. С другой стороны, инверсная фильтрация имеет следующие недостатки:

1. Разрешение (5.40) часто оказывается недостаточным для практического применения. Это следует из того, что функция (5.37), выбранная в качестве полной функции передачи, не оптимальна по разрешению. Другие возможности обсуждаются в п. 5.10.1 в связи с выражениями (5.83) и (5.84).

2. Боковые лепестки величиной 0,22 часто оказываются неприемлемо большими из-за ложных деталей, которые они порождают в

3. Нефизическис (отрицательные) часто охватывают протяженные области на оси х. Это связано с предыдущим недостатком, поскольку положительно-ограниченный выход не смог бы вызвать появления больших отрицательных, а тем более больших положительных выбросов в тех областях, где объект имеет нулевое излучение. Наличие паразитных положительных

(кликните для просмотра скана)

выбросов привело бы к появлению соседних отрицательных выбросов, чтобы скомпенсировать их вклад в интеграл изображения (5.1) и обеспечить нулевое излучение. (См. обсуждение этого вопроса в конце п. 5.3.1.)