§ 128. Дифракция Френеля от простейших преград

Рассмотренные в предыдущем параграфе методы алгебраического и графического сложения амплитуд позволяют решить ряд задач на дифракцию света.

Дифракция от круглого отверстия. Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S, попал в центр отверстия (рис. 128.1). На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку Р.

Рис. 127.6.

Рис. 128.1.

При радиусе отверстия значительно меньшем, чем указанные на рисунке длины а и b, длину а можно считать равной расстоянию от источника до преграды, а длину b — расстоянию от преграды до точки Р. Если расстояния а и b удовлетворяют соотношению

где — целое число, то отверстие оставит открытыми ровно первых зон Френеля, построенных для точки Р (см. формулу (127.5)).

Следовательно, число открытых зон Френеля определяется выражением

(128.2)

В соответствии с (127.6) амплитуда в точке Р будет равна

(128.3)

Перед берется знак плюс, если нечетное, и минус, если четное. Представив (128.3) в виде, аналогичном (127.7), и положив выражения в скобках равными нулю, придем к формулам

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому можно заменить через . В результате получится

(128.4)

где знак плюс берется для нечетных и минус — для четных.

Для малых амплитуда мало отличается от Следовательно, при нечетных амплитуда в точке Р будет приближенно равна , при четных — нулю. Этот результат легко получить с помощью векторной диаграммы, изображенной на рис. 127.4.

Если убрать преграду, амплитуда в точке Р станет равной (см. (127.8)). Таким образом, преграда с отверстием, открывающим небольшое нечетное число зон, не только не ослабляет освещенность в точке Р, но, напротив, приводит к увеличению амплитуды почти в два раза, а интенсивности — почти в четыре раза.

Выясним характер дифракционной картины, которая будет наблюдаться на экране, помещенном за преградой (см. рис. 128.1). Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой освещенность в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния от точки Р. В самой этой точке интенсивность будет достигать максимума или минимума в зависимости от того, каким — четным или нечетным — будет число открытых зон Френеля. Пусть, например, это число равно трем. Тогда в центре дифракционной картины получится максимум интенсивности. Картина зон Френеля для точки Р дана на рис. 128.2, а. Теперь сместимся по экрану в точку Р. Ограниченная краями отверстия картина зон Френеля для точки Р имеет вид, показанный на рис. 128.2, б. Края отверстия закроют часть третьей зоны, одновременно частично откроется четвертая зона. В итоге интенсивность света уменьшится и при некотором положении точки Р достигнет минимума.

Если сместиться по экрану в точку края отверстия частично закроют не только третью, но и вторую зону Френеля, одновременно откроется частично пятая зона (рис. 128.2, в). В итоге действие открытых участков нечетных зон перевесит действие открытых участков четных зон, и интенсивность достигнет максимума, правда, более слабого, чем максимум, наблюдающийся в точке Р.

Рис. 128.2.

Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. В центре картины будет либо светлое ( нечетное), либо темное ( четное) пятно (рис. 128.3).

Рис. 128.3.

Ход интенсивности с расстоянием центра картины изображен на рис. 128.1, б (для нечетного ) и на рис. 128.1, в (для четного ). При перемещении экрана параллельно самому себе вдоль прямой картины, изображенные на рис. 128.3, будут сменять друг друга (согласно (128.2) при изменении b значение становится то нечетным, то четным).

Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает.

Если отверстие открывает большое число зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещенность оказывается практически постоянной.

Дифракция от круглого диска. Поместим между источником света S и точкой наблюдения Р непрозрачный круглый диск радиуса (рис. 128.4).

Рис. 128.4

Если диск закроет первых зон Френеля, амплитуда в точке Р будет равна

Выражения, стоящие в скобках, можно положить равными нулю, следовательно,

(128.5)

Выясним характер картины, получающейся на экране (см. рис. 128.4). Очевидно, что освещенность может зависеть только от расстояния до точки Р. При небольшом числе закрытых зон амплитуда мало отличается от Поэтому интенсивность в точке Р будет почти такая же, как при отсутствии преграды между источником S и точкой Р (см. (127.8)). Для точки Р, смещенной относительно точки Р в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть зоны Френеля, одновременно откроется часть зоны. Это вызовет уменьшение интенсивности. При некотором положении точки Р интенсивность достигнет минимума. Если сместиться из центра картины еще дальше, диск перекроет дополнительно часть зоны, одновременно откроется часть зоны. В результате интенсивность возрастет и в точке достигнет максимума.

Таким образом, в случае непрозрачного круглого диска дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец.

В центре картины помещается светлое пятно (рис. 128.5). Изменение интенсивности света с расстоянием от точки Р изображено на рис. 128.4, б.

Если диск закрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени — освещенность экрана всюду остается такой же, как при отсутствии преград. Если диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается только в узкой области на границе геометрической тени. В этом случае так что светлое пятно в центре отсутствует и освещенность в области геометрической тени практически всюду равна нулю.

Светлое пятнышко в центре тени, отбрасываемой диском, послужило причиной инцидента, происшедшего между Пуассоном и Френелем. Парижская академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на премию за 1818 г. Устроители конкурса были сторонниками корпускулярной теории света и рассчитывали, что конкурсные работы принесут окончательную победу их теории.

Рис. 128.5.

Однако Френелем была представлена работа, в которой все известные к тому времени оптические явления объяснялись с волновой точки зрения. Рассматривая эту работу, Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает «нелепый» вывод: в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Араго тут же произвел опыт и обнаружил, что такое пятно действительно имеется. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света.

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Поместим на пути световой волны (которую для простоты будем считать плоской) непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем. Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии b за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором возьмем точку Р (рис. 128.6). Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину . При этом условии колебания, создаваемые в точке Р соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину.

Зонам, расположенным справа от точки Р, припишем номера 1,2,3 и т. д., расположенным слева — номера и т. д. Зоны с номерами имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки Р симметрично. Поэтому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и по фазе.

Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны , оценим площади зон. Из рис. 128.7 видно, что суммарная ширина первых зон равна

Вследствие узости зон Поэтому при не очень больших квадратичным членом под корнем можно пренебречь. Тогда

Положив в этой формуле получим, что

Рис. 128.6.

Рис. 128.7.

Следовательно, выражению для суммарной ширины первых зон можно придать вид

Отсюда

(128.6)

Расчет по формуле (128.6) дает, что

(128.7)

В таких же соотношениях находятся и площади зон.

Из (128.7) вытекает, что амплитуда колебаний, создаваемых в точке Р отдельными зонами, вначале (для первых зон) убывает очень быстро, затем это убывание становится медленным. По этой причине ломаная линия, получающаяся при графическом сложении колебаний, возбуждаемых прямолинейными зонами, идет сначала более полого, чем в случае кольцевых зон (площади которых при аналогичном построении примерно равны). На рис. 128.8 сопоставлены обе векторные диаграммы.

В обоих случаях отставание по фазе каждого следующего колебания взято одним и тем же. Значение амплитуды для кольцевых зон (рис. 128.8, а) принято постоянным, а для прямолинейных зон (рис. 128.8, б) — убывающим в соответствии с пропорцией (128.7). Графики на рис. 128.8 являются приближенными. При точном построении графиков нужно учитывать зависимость амплитуды от (см. (126.1)). Однако на общем характере диаграмм это не отразится.

На рис. 128.8, б показаны только колебания, обусловленные зонами, лежащими справа от точки Р. Зоны с номерами расположены симметрично относительно Р.

Рис. 128.8.

Рис. 128.9.

Поэтому естественно при построении диаграммы векторы, изображающие соответствующие этим зонам колебания, располагать симметрично относительно начала координат О (рис. 128.9). Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия, изображенная на рис. 128.9, превратится в плавную кривую (рис. 128.10), которая называется спиралью Корню.

Уравнение спирали Корню в параметрической форме имеет вид

(128.8)

Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных v. Смысл параметра v заключается в том, что дает длину дуги кривой Корню, измеряемую от начала координат.

Числа, отмеченные вдоль кривой на рис. 128.10, дают значения параметра v. Точки к которым асимптотически приближается кривая при стремлении v к и , называются фокусами или полюсами спирали Корню. Их координаты равны

Правый завиток спирали (участок ) соответствует зонам, расположенным справа от точки Р, левый завиток (участок ) — зонам, расположенным слева от точки Р.

Найдем производную в точке кривой, отвечающей данному значению параметра v. Согласно (128.8) приращению у на соответствует

Следовательно, Вместе с тем где

Рис. 128.10.

— угол наклона касательной к кривой в данной точке. Таким образом,

Отсюда следует, что в точке, отвечающей касательная к кривой Корню перпендикулярна к оси . При угол 0 равен так что касательная параллельна оси . При угол равен так что касательная снова перпендикулярна к оси , и т. д.

Спираль Корню дает возможность найти амплитуду светового колебания в любой точке экрана. Положение точки будем характеризовать координатой отсчитываемой от границы геометрической тени (см. рис. 128.6).

Для точки Р, лежащей на границе геометрической тени все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точке О, а конец в точке (рис. 128.11, а). При смещении точки Р в область геометрической тени полуплоскость закрывает все большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюса (рис. 128.11, б). В результате амплитуда колебания монотонно стремится к нулю.

Рис. 128.11.

Если точка Р смещается от границы геометрической тени вправо, в дополнение к нештрихованным зонам открывается все возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу При этом амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен длине отрезка на рис. 128.11, в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка на рис. 128.11, г). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка (рис. 128.11, д), т. е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени (см. рис. 128.11, а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет интенсивности получающейся на экране в отсутствие преград.

Зависимость интенсивности света от координаты дана на рис. 128.12. Из рисунка видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени расположен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности.

Рис. 128.12.

Рис. 128.13.

Вычисления дают, что при мкм координаты максимумов (см. рис. 128.12) имеют следующие значения: мм, и т. д. С изменением расстояния от полуплоскости до экрана значения координат максимумов и минимумов изменяются как . Из приведенных данных следует, что максимумы располагаются довольно густо. С помощью кривой Корню можно также найти относительную величину интенсивности в максимумах и минимумах. Для первого максимума получается значение для первого минимума

На рис. 128.13 приведена фотография дифракционной картины от края полуплоскости.

Дифракция от щели. Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полуплоскости. Следовательно, задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис. 128.14).

Для точки Р, лежащей против середины щели, начало и конец результирующего вектора находятся в симметричных относительно начала координат точках спирали (рис. 128.15). Если сместиться в точку Р, лежащую против края щели, начало результирующего вектора переместится в середину спирали О.

Рис. 128.14.

Рис. 128.15.

Конец вектора переместится по спирали в направлении полюса При углублении в область геометрической тени начало и конец результирующего вектора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся на наименьшем расстоянии друг от друга (см. на рис. 128.15 вектор, соответствующий точке Интенсивность света достигнет при этом минимума. При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки Р в противоположную сторону, так как дифракционная картина симметрична относительно середины щели.

Если изменять ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, проходя попеременно через максимумы (рис. 128.16, а) и отличные от нуля минимумы (рис. ).

Итак, френелевская дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (в случае, изображенном на рис. 128.16, а), либо относительно темную (в случае, изображенном на рис. 128.16, б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередующиеся темные и светлые полосы.

При большой ширине щели начало и конец результирующего вектора для точки Р лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсов Поэтому интенсивность света в точках, расположенных против щели, будет практически постоянной.

Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких светлых и темных полос.

Рис. 128.16.

Заметим, что все полученные в данном параграфе результаты справедливы при условии, что радиус когерентности падающей на преграду световой волны намного превосходит характерный размер преграды (диаметр отверстия или диска, ширину щели и т. п.).