Глава 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ: РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ

Во второй и третьей главах мы займемся изучением термодинамического предела для термодинамических функций. В этой главе мы рассмотрим простой случай большого канонического ансамбля для решетчатых систем (классических и квантовых). Мы введем также некоторые необходимые в дальнейшем понятия и результаты, касающиеся предельного перехода к бесконечному объему (§ 2.1), и неравенства для квантовых систем (§ 2.5).

§ 2.1. ПЕРЕХОД К БЕСКОНЕЧНОМУ ОБЪЕМУ

Все ансамбли, которые мы рассматривали до сих пор, описывали системы, заключенные в ограниченной области А пространства или При переходе к термодинамическому пределу предполагается, что область А «стремится к бесконечности». Объясним, каким образом это происходит.

Пусть точка (соответственно ), причем Определим область

и соответственно

«Объем» области определим как

Утверждение означает, что При область возрастает достаточно удобным для изучения термодинамического предела образом. Однако имеются более общие и физически более удовлетворительные определения.

Если мы сдвинем множество на вектор где то в результате получим множество

Семейство множеств образует разбиение пространства или Для каждого подмножества пространства или определим (соответственно как число множеств таких, что (соответственно ).

2.1.1. Определение. Множества стремятся к бесконечности в смысле Ван Хова, если

для любого а.

Это определение инвариантно относительно неоднородных линейных преобразований пространства или

Предположим, что множество ограничено и измеримо по Лебегу. Пусть — мера , а — мера множества точек, расстояние которых границы множества не превосходит Понятие стремления к бесконечности по Ван Хову эквивалентно следующему:

Для доказательства существования термодинамического предела в некоторых случаях необходимо более сильное условие.

2.1.2. Определение. Обозначим диаметр множества А через Множество А стремится к

бесконечности в смысле Фишера если

и существует функция такая, что

и для достаточно малого а и всех имеем

Это определение также инвариантно относительно Линейных преобразований.

Рис. 1. Множество в пространстве

Так как больше, чем объем сферы радиуса то из выражения (1.9) следует существование числа такого, что

Множество в пространстве (рис. 1) стремится к бесконечности при в смысле Ван Хова, но не в смысле Фишера.