§ 5.6. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Статистическая механика классических одномерных систем сравнительно легко поддается исследованию, но она относительно малоинтересна. Дело в том, что в одномерных системах, если только исключить случаи «неправдоподобно» дальнодействующих потенциалов, не бывает фазовых переходов. В этом параграфе мы рассмотрим одномерные решетчатые системы и одномерные непрерывные системы с потенциалом, обладающим «твердой сердцевиной».

5.6.1. Классические решетчатые системы. Обозначим через конечный интервал решетки

Положим

и

где

а потенциал Ф предполагается инвариантным относительно сдвигов

Мы будем рассматривать потенциалы Ф с конечным радиусом взаимодействия, т. е. будем считать, что существует такая константа что для любых чисел выполняется условие

Определим далее векторы равенством

тогда

и

где

Зададим в пространстве скалярное произведение формулой

Обозначим буквой х вектор из все компоненты которого равны единице; тогда равенство (6.8) можно переписать в виде

Запишем уравнение (6.9) в векторной форме

где А обозначает квадратную матрицу порядка Из (6.12) и (6.13) легко получить, что

Отметим следующие факты:

(а) все матричные элементы матрицы А неотрицательны, а все элементы ее степени строго положительны;

(б) все компоненты векторов положительны;

(в) матричные элементы матрицы А являются вещественно аналитическими функциями переменных

Свойство (а) позволяет нам применить предложение 5.6.3, сформулированное ниже; используя замечание (б), мы получим, что

и поэтому

Поскольку собственное значение простое, то из утверждения (в) следует, что является вещественно аналитической функцией от переменных

Итак, мы доказали следующую теорему.

5.6.2. Теорема. Пусть обозначает пространство потенциалов одномерных классических решетчатых систем с конечным радиусом взаимодействия. Положим

Тогда оказывается вещественно аналитической функцией на каждом конечномерном подпространстве в Поэтому в одномерных классических решетчатых системах с конечным радиусом взаимодействия никакие фазовые переходы невозможны.

Для полноты мы установим еще свойство матриц с положительными элементами, использованное при выводе равенства (6.15).

5.6.3. Предложение. Пусть — вещественная квадратная матрица порядка а А обозначает матрицу, сопряженную к А, т. е. Предположим, что

(а) при всех значениях ;

(б) существует такое натуральное число что при всех значениях

Тогда существует число являющееся однократным собственным значением как матрицы А, так и матрицы А и такое, что все компоненты соответствующих собственных векторов строго положительны Для всех

Доказательство. Зафиксируем ненулевой вектор этот вектор определяет луч Обозначим через Г множество лучей, соответствующих векторам с неотрицательными координатами

Из условий (а) и (б) следует, что отображение индуцирует отображение множества Г в себя. Из теоремы Брауэра о неподвижной точке!) вытекает, что найдутся такие, что и

Из условия (б) следует, что Заметим теперь, что множество

компактно. Кроме того,

Поэтому преобразование переводит множество в себя и множество А в А. Вновь воспользуемся теоремой Брауэра и получим, что найдется вектор такой, что

Ввиду условия Обозначим через ограничение преобразования на множество Н, рассматриваемое как векторное пространство с началом координат в точке Отображение линейно, и ввиду условия содержится строго внутри Отсюда видно, что (вообще говоря, комплексные) собственные значения преобразования по абсолютной величине меньше 1; таким образом, — ограниченное линейное преобразование. Отсюда немедленно вытекает утверждение (6.18).

5.6.4. Решетчатые газы. Решетчатыми газами мы будем называть частные случаи решетчатых систем, описанных в § 5.6.1, если кроме случая, когда Введем обозначение

Равенство (6.4) можно переписать теперь в виде

Пусть Поставим в соответствие каждой точке из заданного подмножества экземпляр множества К? Произведение этих экземпляров естественно рассматривать как пространство расположений пустых и занятых точек из Определим в пространстве меру Гиббса приписав каждому набору ( массу где

Положим

Если

По мере заданной в пространстве можно построить, суммируя по множителю меру на пространстве Положим в этом случае

Теорема 5.6.2 показывает, что в одномерных решетчатых газах с конечным радиусом взаимодействия между частицами не происходит фазовых переходов. Сейчас мы сформулируем без доказательства результат, также справедливый без предположения о конечном радиусе взаимодействия.

5.6.5. Теорема. Обозначим через пространство последовательностей для которых

Если

а) предел

существует, конечен и ограничение на любое конечномерное подпространство в является непрерывно дифференцируемой функцией;

б) для каждого конечного подмножества на пространстве существует такая мера что

На пространстве существует такая мера что для каждого конечного подмножества

мера на каждом конечномерном подпространстве в непрерывно зависит от Ф относительно слабой топологии в пространстве мер.

Заметим, что мера (на пространстве всех расположений пустых и занятых ячеек на всей решетке описывает «равновесное состояние» бесконечной системы.

Часть (б) сформулированной теоремы показывает, что мера непрерывно зависит от температуры и химического потенциала, а это означает, что в некотором смысле фазовые переходы в таких системах невозможны. Для парного взаимодействия при условие (6.28) принимает вид

Это условие обеспечивает конечность энергии взаимодействия всех частиц, расположенных слева от произвольной точки решетки с частицами, расположенными справа от этой точки.

5.6.6. Классические непрерывные системы с твердым ядром. Мы закончим этот параграф рассмотрением одномерных (классических) систем частиц с твердой

сердцевиной и конечным радиусом взаимодействия. Это рассмотрение проводится по аналогии с рассмотрением решетчатых систем с конечным радиусом взаимодействия.

Обозначим, как в 3.4.3, конфигурационную статистическую сумму буквой Положим

и пусть

Используя технику, развитую в гл. 3, можно показать, что этот предел существует и что

Сравнив полученное равенство с (4.18) гл. 3, легко заметить, что если мы положим , то Заметим еще, что является возрастающей функцией от

5.6.7. Теорема (Ван Хов). Рассмотрим непрерывную систему одномерных частиц с парным взаимодействием. Предположим, что потенциал Ф парного взаимодействия обладает твердой сердцевиной при конечным радиусом взаимодействия при и является непрерывной функцией от х при При этих ограничениях является вещественной аналитической функцией от при Поэтому в таких системах нет фазовых переходов.

Как уже объяснялось, достаточно показать, что является аналитической функцией от при

Пусть целое число таково, что заметим, что в равенстве

суммирование для каждой части фактически производится по набору из ближайших соседей. Поэтому

Рис. 17. Определение переменных

Пусть При положим

Обозначая нижнюю грань значений Ф через — получим неравенства

Рассмотрим величину

Из равенств (6.37) и (6.39) видно, что величины положительны, ограничены и непрерывно зависят от из (6.38) имеем Из оценки (6.40) и равенства (6.34) следует

Введем переменные

переменных можно записать

Поэтому

В этой формуле интегрирование фактически производится по интервалу После перехода к

переменным интервал интегрирования становится конечным

Поэтому

где функции непрерывны и строго положительны.

Используя равенство (6.41), можно свести изучение функции к изучению последовательности итераций ядер умножение которых задается равенством (6.43).

Рассмотрим теперь уравнение Фредгольма

Ряд, определяющий резольвенту,

сходится в круге радиуса который ввиду (6.41) задается формулой

С другой стороны, определяется расстоянием от начала координат до ближайшего нуля определителя Фредгольма. Используя положительность ядра, можно показать, что ближайший к началу координат нуль определителя Фредгольма — простой и находится на положительной полуоси Поэтому из аналитичности ядра как функции от следует аналитичность этого

«ближайшего нуля». Таким образом, а значит, и аналитически зависят от при Теорема 5.6.7 полностью доказана.