§ 2.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМАХ

Мы начинаем изучение термодинамического предела с квантовых решетчатых систем. В такой системе каждому конечному множеству сопоставлен гамильтониан Он является самосопряженным

оператором, действующим в гильбертовом пространстве определяемом формулой (3.13) гл. 1. При положим

Если то пространство очевидно, можно отождествить с Отождествим также любой оператор в пространстве с оператором в пространстве . В частности, для любого , оператор может быть продолжен до оператора в

Для того чтобы сделать теорию инвариантной относительно переноса начала координат, введем для каждого не и каждого унитарный оператор так что — тождественный оператор в Пусть также

Теперь мы постулируем, что

или (опуская индексы при V)

Запишем

Это выражение рекуррентно определяет как самосопряженный оператор в (являющийся также оператором в для любого ). Из выражения (2.3) имеем

Функция Ф, принимающая операторные значения, есть потенциал 3), который вводится в теории для описания взаимодействия подсистем. Формула (2.5) выражает

инвариантность потенциала относительно переноса начала координат. Опишем теперь классы потенциалов, которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Потенциал Ф имеет конечный радиус действия (финитный потенциал), если число множеств X, таких, что конечно. Пусть А — объединение этих множеств. Очевидно, А — конечно, Можно назвать «областью действия» потенциала Ф. Если , то Следовательно, откуда Пусть

или, что то же самое, Если то х и, следовательно, если то . В частности, при условии (2.6) имеем

Отсюда видно, что множества а «не взаимодействуют», если они достаточно удалены друг от друга. Ограничимся потенциалами Ф, такими, что

где — число точек множества X. Пространство этих потенциалов является действительным банаховым пространством с нормой (2.8). Пространство потенциалов с конечным радиусом действия всюду плотно в Из определений (2.4) и (2.8) получаем

В п. 1.3.3 мы ввели ансамбль, описываемый ненормированной матрицей плотности Соответствующая ему статистическая сумма имеет вид

а соответствующая термодинамическая функция равна

при , стремящемся к бесконечности каким-либо подходящим способом. Очевидно, роль множителя в этих выражениях тривиальна. Для упрощения записи включим в потенциал взаимодействия Ф (что равносильно условию Напишем

так что и определим

Заметим, что вследствие инвариантности потенциала относительно переноса начала координат

2.2.1. Лемма. Если А и В — самосопряженные операторы, действующие в пространстве то

Пусть — линейное отображение пространства в пространство самосопряженных операторов, действующих в Тогда

откуда, подставляя и интегрируя полученное выражение от 0 до 1, получаем (2.15).

2.2.2. Предложение. Справедливы следующие утверждения:

(б) функция выпукла на Используя (2.13), (2.15) и (2.9), получаем

и утверждение (а) доказано. Утверждение (б) немедленно вытекает из предложения 2.5.3, которое мы докажем позже.

2.2.3. Предложение. Если то

Это следует из предложения 2.2.2 (а), так как при