§ 5.5. ТЕОРЕМА МЕРМИНА И ВАГНЕРА

В § 5.4 мы видели, что при и подходящем взаимодействии классические спиновые системы обладают спонтанной намагниченностью, если температура достаточно мала. Для соответствующего класса квантовых систем Мермин и Вагнер получили отрицательный результат; при в этих системах нет

спонтанной намагниченности. Разницу в поведении классических и квантовых систем при можно пояснить, сказав, что в квантовых системах стремление к одинаковой ориентации спинов на всей решетке проявляется меньше, чем в классических.

Это утверждение довольно правдоподобно, поскольку для квантовых частиц спин может непрерывно изменяться между направлениями «вверх» и «вниз»; поэтому соседние спины могут быть ориентированы почти в одном направлении, в то время как для всей решетки такого направления может не быть. Подобная ситуация невозможна для тех классических спиновых систем, которые мы рассматривали.

Опишем точно класс квантовых спиновых систем, которые мы будем рассматривать («изотропные модели Гейзенберга»). Как уже говорилось в § 2.2, каждой точке соответствует «копия» конечномерного гильбертова пространства Предположим, что в задано неприводимое унитарное представление группы которое задается тремя (самосопряженными) инфинитезимальными операторами удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

Определим матрицы

Тогда

при условии, что размерность пространства равна Справедливы следующие коммутационные соотношения:

Обозначим через оператор, соответствующий преобразованию В качестве гамильтониана нашей квантовой спиновой системы (для конечного «сосуда» ) рассмотрим выражение

В этом выражении обозначает «магнитное поле», направленное вдоль «третьей» оси. Предположим, что и

Чтобы доказать отсутствие спонтанной намагниченности для взаимодействия (5.5) при нам потребуется неравенство, к доказательству которого мы и перейдем.

5.5.1. Лемма (неравенство Боголюбова). Пусть гильбертово пространство конечномерно, Н — самосопряженный оператор в Для каждого оператора X, действующего в положим

тогда для любых двух операторов А и С, действующих в справедливо неравенство

Определим в пространстве операторов, действующих в положительное полуопределенное скалярное произведение

где сумма берется по всем парам элементов ортонормированного базиса, состоящего из собственных

векторов оператора Н, за исключением тех пар, для которых

Если

Поэтому

Отсюда

Запишем неравенство Шварца для скалярного произведения (5.9)

Выберем В в виде ]. Тогда

Подставляя оценки (5.11), (5.13) и (5.14) в (5.12), получим утверждение леммы.

5.5.2. Теорема (Мермин — Вагнер). Положим

где определяется равенством (5.5). Пусть условие (5.6) удовлетворено, тогда

если размерность

Предположим сначала, что потенциал обладает конечным радиусом взаимодействия и что система содержится в «периодическом» кубе как это описано в 2.3.4. Пусть А обозначает множество таких векторов для которых где целые числа, и

Положим И пусть

так что для имеем

Выпишем величину, соответствующую спонтанной намагниченности для нашей конечной системы

Усреднение определено в (5.7), где вместо Н следует подставить В дальнейшем удобно вместо выражения (5.21) рассматривать более общее выражение

где вектор К обладает тем свойством, что для всех Оператор определяющий

среднее имеет вид

Чтобы получить оценку для мы воспользуемся неравенством Боголюбова (5.8), в котором положим

Вычислим сначала все выражения, входящие в неравенство (5.8),

Непосредственное (но длинное) вычисление показывает, что

Выражение (5.26) положительно ввиду неравенства (5.8). Поэтому, добавляя к правой части (5.26) выражение того же типа, в котором заменено на получим оценку

Из трансляционной инвариантности, неравенства Шварца и равенства (5.3) следует, что

Подставим эту оценку в (5.27) и воспользуемся условием (5.6) и очевидным неравенством В результате получим

Подставляя (5.24), (5.25) и (5.28) в неравенство (5.8), получим

Если просуммировать выражения, стоящие в правой части неравенства (5.29), по всем и воспользоваться оценкой

то получим

Если то неравенство (5.30) можно переписать в виде

В частности,

и

Откуда получаем оценки

при

Из теоремы 2.3.3 (а) следует, что каждый потенциал Ф, удовлетворяющий условию (5.6), можно приблизить потенциалами с конечным радиусом взаимодействия так, чтобы неравенства (5.32) и (5.33) при этом предельном переходе остались справедливыми. Из этих неравенств следует, что при спонтанная намагниченность а Теорема 5.5.2 доказана.

5.5.3. Отсутствие антиферромагнетизма. Теорема 5.5.2 показывает, что системы, взаимодействия в которых удовлетворяют условиям (5.5) и (5.6), не обладают спонтанной намагниченностью, или, другими словами, не являются ферромагнетиками. С ферромагнетизмом близко связан другой феномен — антиферромагнетизм. Он состоит в том, что узлы решетки разбиваются на два класса (каждый из которых является подрешеткой) так, что спины частиц, расположенных в узлах одного класса, направлены в одну сторону, а в узлах другого — в противоположную. Рассмотрим теперь подрешетки Поскольку множитель входит в выражения (5.22) и (5.23), то неравенства (5.32) и (5.33) доказывают невозможность «спонтанной намагниченности подрешетки», т. е. антиферромагнетизма.