Глава 5. ПРОБЛЕМА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

В этой главе мы придерживаемся традиционной точки зрения на фазовые переходы, которая состоит в том, что смена фаз проявляется в нарушении регулярности термодинамических функций, являющихся вне точки фазового перехода вещественно аналитическими. С этой точки зрения теория фазовых переходов должна состоять в доказательстве кусочной аналитичности термодинамических функций и исследовании природы их возможных особенностей. Хотя в настоящее время подобной теории не существует, некоторые аналитические свойства термодинамических функций уже известны. В частности, мы уже видели в гл. 4, что как в классических, так и в квантовых системах частиц, взаимодействующих с помощью достаточно хорошего парного потенциала, при малых значениях плотности фазовый переход невозможен. В этой главе мы обсудим другие результаты подобного рода, относящиеся большей частью к классическим решетчатым системам.

§ 5.1. ТЕОРЕМА ЯНГА И ЛИ

В 1952 г. Янг и Ли [1] предложили теорию фазовых переходов, основанную на той идее, что в комплексной плоскости значений активности некоторые области при остаются свободными от нулей большой статистической суммы (см. упр. 3.Ж). Теоремы

4.2.3 и 4.2.7 показывают, что эта ситуация действительно возможна. Ли и Янг фактически выделили класс решетчатых систем, для которых, как мы сейчас увидим, все нули лежат на окружности Сначала мы установим соответствующий математический результат, не обращаясь к физической стороне дела.

5.1.1. Предложение. Пусть семейство вещественных чисел, таких, что при

Рассмотрим следующий многочлен от переменных

где сумма берется по всем подмножествам множества - дополнение к множеству в Тогда из условий следует, что .

Предположим сначала, что все числа отличны от 0 и ±1. Если мы докажем предложение при этих ограничениях, то на общий случай его легко будет распространить по непрерывности. Итак,

Ясно, что уравнение влечет Этим справедливость нашего утверждения при доказана. При воспользуемся индукцией.

Предположим, что Введем обозначение тогда

где

Полагая получим

и, поскольку из предположения индукции следует

Уравнение определяет дробно линейное преобразование

При этом отображении точка переходит в точку так что

Если снова положить то равенство (1.5) примет вид

и, поскольку из предположения индукции следует, что

Предположим теперь, что сформулированное утверждение неверно. Тогда существуют такие что

Преобразование (1.4) отображает пару точек в пару так что поэтому можно найти такое значение что и его образ удовлетворяет условию Повторяя эти рассуждения с заменой индекса на , мы получим такой набор чисел что

Из того, что вытекает тождество

Введя обозначения можно переписать равенство (1.8) в виде

Сравнивая последнее равенство с (1.7), получим, что в противоречии с условием Это замечание заканчивает доказательство.

5.1.2. Теорема (Ли и Янг). Сохраняя все обозначения и допущения предложения 5.1.1, образуем полином степени от

где через обозначено число элементов множества

Все нули этого полинома лежат на единичной окружности

Эта теорема непосредственно вытекает из предложения 5.1.1.

Рассмотрим теперь решетчатый газ с таким парным взаимодействием, что потенциальная энергия расположения равна

В п. 2.4.3 мы показали, что с таким решетчатым газом естественно связана система спиновых частиц, заключенных в области . Потенциальная энергия этой системы, соответствующая состоянию, при котором спины в точках направлены «вверх», а остальные — «вниз», задается равенством

где

Мы уже видели, что

Положим тогда

Так что

Если то Применяя в этом случае теорему 5.1.2, мы получим, что нули многочлена лежат на окружности Поэтому если то функция аналитична (мы рассматриваем ту ее ветвь, которая положительна при и удовлетворяет неравенству

Переходя к логарифмам, легко видеть, что функции равномерно ограничены при и сходятся, если 20 (воспользуйтесь (1.15) и Из теоремы Витали следует, что эти функции сходятся равномерно на каждом круге где . Обозначим через предельную функцию при .

Функция К аналитична и не обращается в нуль. Если бы она обращалась в нуль в некоторой точке, то достаточно малая окрестность этой точки при больших содержала бы корень соответствующего многочлена Поэтому можно продолжить с интервала до функции аналитической при Из тождества

которое вытекает из (1.8), легко видеть, что функцию можно продолжить с интервала до функции . Суммируем все сказанное в виде следующей теоремы.

5.1.3. Теорема. Пусть взаимодействие частиц решетчатого газа имеет вид (1.10) и — фиксированный отрицательный парный потенциал

Если обозначить

то термодинамический потенциал определяемый равенством

продолжается с интервала до функции аналитической в круге а с интервала до функции Поэтому фазовый переход возможен только при

Далее мы рассмотрим как случаи, когда в точке действительно происходит фазовый переход, так и случаи, когда фазового перехода нет.