§ 1. ГИББСОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ

1.1. Определение гиббсовского состояния. Работы последних лет позволяют дать много более полное описание структуры равновесных состояний для классических бесконечных систем. Для простоты рассмотрим сначала случай решетчатой системы.

Пусть — куб со стороной а и центром в начале координат и — корреляционная функция конфигурации X в большом каноническом ансамбле Гиббса. В соответствии с теоремами разд. 4.2.3 и 5.2.1 в случае достаточно малых значений а также, наоборот, в случае достаточно больших по модулю значений химического потенциала при соответствующих ограничениях, наложенных на потенциал взаимодействия, существует предел при значений равный Эти корреляционные функции позволяют определить вероятностную меру на пространстве конфигураций на бесконечной решетке Вопрос о существовании подобных пределов для всех значений параметров остается открытом; однако, даже если эти пределы существуют, они не исчерпывают собой физически разумных состояний бесконечной системы. Это видно, например, из того, что в случае потенциалов Ф, для которых, как это описано в разд. 5.3, существует фазовый переход первого рода при и достаточно больших значений при этих значениях параметров, как можно доказать, корреляционные функции (X) при по-прежнему имеют предел Однако из рассуждений разд. 5.3 нетрудно вывести, что для построенного с помощью состояния бесконечной системы при больших каждая ячейка решетки будет пуста с вероятностью, близкой к единице. Свойство симметрии системы при (см. разд. 2.4.4) показывает, что состояние получаемое из заменой

пустых ячеек на занятые, а занятых на пустые, является физически не менее естественным.

Учитывая все это, целесообразно ввести более общее определение гиббсовского распределения в сосуде с тем, чтобы после предельного перехода получить большой запас состояний, которые могут быть истолкованы как гиббсовские состояния для всей решетки Следуя Добрушину, граничным условием будем называть любую конфигурацию в . Для потенциала введем энергию взаимодействия

Дсхиг

и будем называть гиббсовским распределением в А с граничным условием распределение вероятностей, заданное при помощи формулы где — нормирующий множитель:

Заметим, что обычное гиббсовское распределение для системы, заключенной в сосуде , получается, если в качестве граничного условия выбрать пустую конфигурацию вне . Одно из оправданий определения состоит в том, что если а то условные вероятности конфигураций в , при условии, что фиксирована конфигурация в вычисленные на основе обычного гиббсовского распределения для системы в сосуде задаются гиббсовским распределением в с граничным условием Пусть — совокупность всех состояний системы в получающихся как пределы (в смысле сходимости всех корреляционных функций) последовательностей гиббсовских распределений в при с некоторыми граничными условиями (при одном и том же

потенциале Ф). Гиббсовским состоянием для бесконечной системы назовем любое состояние, задаваемое вероятностной мерой, принадлежащей замыканию выпуклой оболочки совокупности а эти меры будем называть предельными гиббсовскими распределениями. Оказывается, что совокупность предельных гиббсовских распределений можно также описать непосредственным образом. А именно, вероятностная мера для конфигураций в является гиббсовским распределением в том и только том случае, когда для любого куба и любой конфигурации вне куба условное распределение вероятностей для конфигураций внутри при условии, что в находится конфигурация совпадает с гиббсовским распределением для системы в с граничным условием При этом оказывается достаточным, чтобы это свойство выполнялось для кубов , состоящих из одной ячейки. Недавно Браскамп [1] показал, что приведенное определение гиббсовского распределения в терминах условных вероятностей эквивалентно общим условиям Кубо—Мартина — Швингера, примененным к классическому случаю.

В соответствии со сказанным выше гиббсовское распределение в случае финитного потенциала Ф с радиусом взаимодействия обладает следующим свойством, аналогичным известному свойству марковских распределений: условное распределение для конфигурации в кубе при заданной конфигурации вне куба зависит лишь от пересечения с окрестностью радиуса куба . Аверинцев (его результаты частично изложены в [1]) показал, что любая вероятностная мера на пространстве конфигураций в для которой выполнено описанное выше марковское свойство и все условные вероятности задающие условные распределения на конфигурациях X а А, положительны при любых и задает гиббсовское состояние для соответствующим образом выбранного финитного потенциала.

Представляется интересным вопрос о получении гиббсовских состояний с помощью вариационного принципа для энтропии (сравните близкий вариант этого

принципа, рассмотренный в разд. 7.4). А именно для данного потенциала Ф рассмотрим класс состояний для которых удельная энергия на единицу объема и плотность частиц существуют и принимают фиксированные значения Рассмотрим, далее, те состояния из этого класса, у которых существует энтропия Возьмем теперь состояния из этого класса, если они существуют, удовлетворяющие следующему вариационному принципу — принципу максимума энтропии

Доказано (см. Ланфорд, Рюэль [2]), что любое гиббсовское состояние, для которого существует энтропия, удовлетворяет этому вариационному принципу. Обратное утверждение, состоящее в том, что любое состояние с максимальной энтропией, является гиббсовским, доказано для состояний, инвариантных относительно всех сдвигов в Разумеется, это утверждение неверно, если не налагать на состояние никаких ограничений, однако остается открытым вопрос о том, верно ли оно, если состояние инвариантно относительно некоторой группы сдвигов, более узкой, чем группа всех сдвигов.

1.2. Описание совокупности гиббсовских состояний.

Важным представляется вопрос об описании совокупности всех гиббсовских состояний в зависимости от значений потенциала. Единственный общий результат в этом направлении состоит в утверждении, что при общих условиях относительно потенциала Ф (всюду используемых в книге) существует по крайней мере одно инвариантное относительно всех сдвигов гиббсовское состояние (этот факт доказывается на основе простых соображений компактности, см. Добрушин [4]).

Остальные результаты в этом направлении носят частный характер. В тех случаях, когда применим метод корреляционных уравнений [случай малых и малых или больших значений (см. разд. 4.2.3 и 5.2.1)], гиббсовское состояние с данным потенциалом единственно. Можно доказать, что гиббсовское состояние единственно в одномерном случае, если потенциал взаимодействия достаточно быстро убывает на бесконечности. В случае парного потенциала достаточно потребовать, чтобы

(см. теорему 5.6.5, и § 4 этого приложения). С другой стороны, изученные случаи фазовых переходов дают примеры неединственности гиббсовского состояния.

Возникающие ситуации опишем на примере модели Изинга. Рассмотрим сначала случай парного потенциала при при , т. е. случай притяжения. Здесь, как и в общем случае, имеет место единственность гиббсовского состояния для малых или же достаточно больших по модулю Далее на основе результатов Минлоса и Синая [2] можно доказать единственность гиббсовского состояния для случая достаточно больших и. Однако, как уже говорилось выше, при и достаточно больших ситуация оказывается иной. Можно построить два разных гиббсовских состояния, рассмотрев пределы при гиббсовских распределений в А с разными граничными условиями. Одно состояние получается, когда — пустое множество, а другое — когда совпадает со всей внешностью куба , т. е. . При этом типичная конфигурация в первом случае состоит из редких конечных скоплений частиц в огромном «океане пустот», и с помощью замены частица пустота из нее получается типичная конфигурация для второго случая (см. также § 3 этого приложения). На языке спиновых систем мы имеем здесь картину ферромагнетизма, при которой подавляющая часть спинов принимает одинаковые

значения. Оба эти гиббсовских состояния инвариантны относительно всех сдвигов и при достаточно больших не совпадают друг с другом. Естественную гипотезу о том, что этими двумя состояниями и их линейными комбинациями исчерпываются все гиббсовские состояния, удается доказать для двумерных моделей, но она неверна в трехмерном случае (неопубликованный результат . Добрушина). Оказывается, что в случае, когда размерность пространства достаточно велико, существует предел гиббсовских распределений в , заданных граничным условием вида , если причем соответствующее состояние на конфигурациях в не является линейной комбинацией двух рассмотренных выше состояний и Это следует хотя бы из того, что гиббсовское состояние, построенное при помощи граничного условия не инвариантно относительно сдвигов вдоль оси в частности, вероятность того, что занята ячейка с положительной первой координатой, больше а вероятность того, что занята ячейка с отрицательной первой координатой, меньше Наглядно можно сказать, что гиббсовское состояние соответствует сосуществованию двух фаз, причем поверхность раздела фаз проходит (с флуктуациями конечного масштаба) вдоль плоскости Различие между трехмерным и двумерным случаем связано с тем, что в двумерном случае линия раздела фаз в квадрате имеет флуктуации порядка и поэтому при «бесконечно размывается», т. е. не имеет никакого предела для своего положения. При масштаб флуктуаций поверхности раздела фаз не зависит от , и это в некотором роде связано с явлениями типа фазовых переходов. Описанное выше гиббсовское состояние инвариантно лишь относительно сдвигов, перпендикулярных первой оси координат.

Общая ситуация в случае модели Изинга при всех значениях параметров остается неизвестной, и можно выдвинуть лишь некоторые гипотезы. По-видимому, гиббсовское состояние единственно при всех а при гиббсовское состояние единственно, если

где температура Кюри (см. разд. 5.4.9). В двумерном случае при совокупность гиббсовских состояний имеет, вероятно, ровно две крайние точки; ими являются описанные выше состояния В трехмерном же случае вероятно, что для достаточно больших все крайние точки совокупности гиббсовских состояний исчерпываются построенными выше состояниями и состояниями, получающимися из отражениями, сдвигами и поворотами. Совсем неясно, имеет ли место равенство или же существует промежуточный отрезок на котором ситуация аналогична ситуации в двумерном случае. Отметим для полноты, что, как можно показать, в четырехмерном случае имеются еще и другие гиббсовские состояния.

В случае модели Изинга с (случай отталкивания) ситуация оказывается иной (Добрушин [6]). Оказывается, что при

где — размерность пространства, — некоторая явно оцениваемая константа, существуют пределы гиббсовских распределений в с граничными условиями и следующих двух видов: если всю решетку представить в виде суммы двух подрешеток которых суммы координат точек соответственно четные и нечетные, то одно граничное условие, обозначенное совпадает с той частью подрешетки которая лежит вне , а второе граничное условие, обозначенное является частью лежащей вне . Получаемые таким образом состояния различны при больших Они инвариантны лишь относительно сдвигов на векторы из и типичные для них конфигурации напоминают шахматную доску: в одном из распределений заняты «почти все» ячейки, соответствующие черным клеткам шахматной доски (подрешетке и пусты почти все ячейки, соответствующие белым клеткам, (подрешетке для второго же состояния типичная конфигурация получается из только что

описанной путем замены пустых ячеек на занятые и наоборот. На языке спиновых систем оба случая соответствуют картине антиферромагнетизма, в которой соседние спины по преимуществу стремятся принять разные значения.

В трехмерном случае можно еще построить гиббсовское состояние при помощи граничного условия которое в верхнем полупространстве (положительные совпадает с подрешеткой а в нижнем — с подрешеткой В остальном ситуация аналогична ситуации в случае притяжения. Так, например, одна из гипотез состоит в том, что в двумерном случае существует некоторая кривая в плоскости параметров имеющая вертикальные асимптоты в точках и и такая, что для точек лежащих под этой кривой и на ней самой, гиббсовское состояние единственно, а для точек лежащих над этой кривой, совокупность гиббсовских состояний представляет собой отрезок с крайними точками и

Укажем еще одну исследованную модель — решетчатую модель с твердой сердцевиной (Добрушин [6]). Здесь на конфигурации частиц наложено единственное ограничение, состоящее в том, что две соседние ячейки не могут быть одновременно заняты, т. е. рассматривается система с парным потенциалом таким, что при при В этом случае для

существуют различные предельные гиббсовские состояния для указанных выше граничных условий Возникающая при этом ситуация аналогична ситуации для модели Изинга с отталкиванием.

1.3. Свойства убывания корреляции. Интересным является вопрос о том, какими свойствами убывания корреляций обладают гиббсовские состояния. Оказывав ется, что гиббсовское состояние обладает свойством регулярности, состоящим в том, что у соответствующего распределения события, связанные с поведением системы на бесконечности, имеют вероятность 0 или 1

тогда и только тогда, когда оно является крайним элементом множества гиббсовских распределений. Для всех построенных выше примеров крайних гиббсовских состояний удается доказать и много более сильное свойство регулярности. А именно, пусть конечное множество и совокупность точек из отстоящих от не более чем на Существует функция при такая, что если событие А описывает поведение системы в , а событие В поведение системы в то

С другой стороны, более сильное свойство равномерной регулярности снаружи, состоящее в существований функции при такой, что

оказывается эквивалентным единственности гиббсовского состояния.

1.4. Некоторые обобщения. Результаты, описанные выше, распространяются и на более широкие классы потенциалов. В частности, все, что сказано о случае модели Изинга с притяжением, распространяется на случай потенциалов, удовлетворяющих условиям теоремы 5.3.1, а также на класс потенциалов, рассмотренных Добрушиным [3]. Это класс парных потенциалов таких, что:

1) если — множество таких, что и дополнение к то

где всевозможные единичные векторы решетки

2) существуют такие, что

Наглядный смысл условия (П. 1.8) состоит в том, что отрицательная часть потенциала «в некотором смысле больше» его положительной части.

Описанные в разд. 1.1 результаты общего характера находят непосредственные обобщения на случай непрерывных систем. Некоторые дополнительные трудности возникают лишь в случае потенциалов без твердой сердцевины, где приходится использовать оценки, показывающие маловероятность больших скоплений частиц в фиксированной ограниченной области (см. Добрушин [8], [9] и Рюэль [14]). При этом единственность гиббсовского распределения удается доказать лишь в классе состояний, для которых выполнено следующее требование: существуют такая функция и константа а, что если — число частиц в кубе , то равномерно по всем кубам фиксированного объема V среднее значение

1.5. Марковский процесс, оставляющий инвариантными гиббсовские состояния. В заключение укажем одну интересную конструкцию, которая оказывается, в частности, удобной при изучении предельных гиббсовских состояний. Добрушин [10] (см. также Спитцер [1]) ввел марковский процесс с непрерывным временем, фазовое пространство которого есть множество всех конфигураций в и который оставляет инвариантными все гиббсовские распределения с данным потенциалом.

В этом процессе в отдельные моменты времени каждая из ячеек решетки может менять состояние «занятости» на состояние «пустоты» и наоборот. При этом для финитных потенциалов вероятности таких изменений зависят лишь от состояний ячеек, отстоящих от данной не более чем на радиус взаимодействия потенциала. Такой марковский процесс может быть

использован как грубая модель процесса установления равновесия в решетчатой системе. С другой стороны, при помощи соответствующего марковского оператора можно доказывать разные факты относительно гиббсовских состояний, например теорему об условиях единственности такого состояния. Заметим, что и все остальные известные доказательства единственности гиббсовского состояния (доказательство Ланфорда и Рюэля [2], доказательство Добрушина [5], упрощенное Вассерштейном [1]) основаны на исследованиях сжимающих свойств специально подобранных операторов, оставляющих гиббсовские состояния инвариантными.