Главная > Статистическая механика. Строгие результаты
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ СОСТОЯНИЙ ПО ЭРГОДИЧЕСКИМ

В этом параграфе мы увидим, что каждое инвариантное состояние на -абелевой -алгебре единственным образом представляется в виде интеграла (в некотором смысле) по множеству эргодических состояний. При изучении этих вопросов мы будем пользоваться языком и техникой теории интегральных представлений на выпуклых компактных множествах, принадлежащей Шоке (см. Д.5).

6.4.1. Теорема. Пусть в В-алгебре существует единица. Для каждого обозначим через А функцию на множестве определяемую равенством

а Пусть состояние и алгебра абелева. Тогда существует единственная максимальная мера на с результантом (см. Д.5). Эта мера определяется равенством

для любых I самосопряженных элементов

По предположению существует мера на принимающая значение в пространстве проекторов, такая, что

Пусть — полином от комплексных переменных, тогда

поэтому равенство (4.1) определяет линейный функционал на всех полиномах от непрерывный в топологии равномерной сходимости на Этот функционал однозначно (используя теорему Стоуна — Вейерштрасса) можно продолжить до функционала на пространстве всех непрерывных функций на т. е. до меры на при этом, очевидно,

Пусть где Тогда существуют (см. Д,3.5)

однозначно определенные самосопряженные операторы такие, что и

Из (4.3) следует, что Из -инвариантности состояний и единственности операторов следует также, что так что

Воспользуемся теперь единственностью конструкции Гельфанда — Сигала (см. Д.3.5) и отождествим с замыканием ограничением оператора на подпространство а вектор При этом операторы и также отождествляются с ограничениями операторов на подпространство В частности, алгебра абелева и поэтому определена мера Следовательно,

так что

и поэтому

Пусть теперь — мера на множестве с результантом , см. § Д.5), и пусть — непрерывная функция на По заданному можно иайти меру с конечным носителем, такую,

что Если функция выпукла, то

Поэтому оказывается единственной максимальной мерой на такой, что .

6.4.2. Следствие. Если алгебра содержит единицу и является -абелевой, то представляет собой симплекс.

Это утверждение вытекает из теоремы 6.4.1, определения 6.2.6 G-абелевой алгебры и определения симплекса (см. Д.5.3). Если алгебра абелева, то можно показать, что инвариантные вероятностные меры на компактном множестве с заданной группой гомоморфизмов образуют симплекс.

В «хороших случаях» максимальные меры сосредоточены на крайних точках множества т. е. на -эргодических состояниях. Это, в частности, верно, если В-алгебра сепарабельна и поэтому множество метризуемо (см. Д.5.4).

6.4.3. Предложение. Если В-алгебра G-абелева, сепарабельна и содержит единицу, то каждое -инвариантное состояние является результантом единственной меры, сосредоточенной на -эргодических состояниях.

В оставшейся части этого параграфа мы будем рассматривать состояния, ограничения которых на некоторые подалгебры в имеют норму 1. Такие состояния часто встречаются в физических приложениях.

6.4.4. Предложение. Пусть В-алгебра 91 со держит единицу, самосопряженная подалгебра в 21, Рассмотрим множество

Тогда

(а) множество является счетным пересечением открытых подмножеств пространства Е;

(б) если — вероятностная мера на Е с результантом то

Можно считать, что есть В-подалгебра в (заменив, если нужно, подалгебру на ее замыкание). Введем обозначение

тогда утверждение (а) следует из равенства

где

Докажем Предположим сначала, что и пусть где сосредоточены на соответственно.

Для всех имеем

где через А (как и раньше) обозначена функция на Е, задаваемая равенством Из (4.12) следует

а поэтому Таким образом, мера сосредоточена на при всех это означает, что ее носитель принадлежит

Пусть теперь мера сосредоточена на и, значит, на при всех . Существует компактное множество такое, что . Пусть — возрастающая аппроксимативная единица (см.

Д.3.2) подалгебры , тогда

Таким образом, существует конечный набор такой, что

Поэтому (см. Д.3.2) существует такое число что

Отсюда следует, что

и, значит, но поскольку это верно при всех то

6.4.5. Предложение. Пусть — счетное семейство В-подалгебр алгебры , такое, что плотно в . Для каждого а обозначим через За сепарабельный замкнутый двусторонний идеал алгебры и положим норма ограничения состояния на равна

Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) если состояние то пространство — сепарабельно,

(б) существует последовательность самосопряженных элементов алгебры , обладающая следующим свойством: еслм для некоторого номера ;

(в) пусть алгебра G-абелева и содержит единицу, если — вероятностная мера на с результантом то

Поэтому каждое состояние является результантом единственной вероятностной меры сосредоточенной на

(а) Обозначим через замкнутое подпространство в порожденное векторами Из единственности конструкции Гельфанда — Сигала (см. следует, что ограничение представления на В-подалгебру унитарно эквивалентно представлению построенному с помощью ограничения состояния на Поскольку норма ограничения на идеал равна 1, то плотно в поэтому пространство сепарабельно; а так как все пространство порождается счетным семейством подпространств , то и сепарабельно.

(б) Для каждого а выберем счетное всюду плотное подмножество единичного шара в подпространстве самосопряженных элементов идеала , как-нибудь упорядочим счетное множество и обозначим соответствующую последовательность через Пусть а , тогда

Поэтому если то для некоторого I. С другой стороны, если при всех то это означает, что ограничения состояний на совпадают при всех а; отсюда (см. Д. 3.3) следует, что при всех а совпадают ограничения и а на Следовательно,

(в) Как известно (см. Д. 5.4), всякая мера сосредоточенная на , максимальна. Докажем обратное.

Предположим, что мера максимальна. Тогда (см. теорему 6.4.1) и мера сосредоточена на множестве (см. предложение Обозначим через отображение, ставящее в соответствие

каждому состоянию последовательность где последовательность, построенная в этой теоремы; является непрерывным отображением множества К в произведение счетного числа копий числовой прямой Зададим меру на выпуклом компактном множестве равенством

Докажем, что мера максимальна на Очевидно, что Пусть на тогда по любому и любому можно найти (см. меру с конечным носителем, принадлежащим такую, что

Пусть тогда поэтому из (б) следует Если функция выпукла, то

так как отображение аффинно. Поэтому так что мера максимальна.

Из метризуемости множества следует, что мера сосредоточена на следовательно, мера сосредоточена на Из утверждения (б) легко получить, что Теорема полностью доказана.

1
Оглавление
email@scask.ru