§ 6.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ СОСТОЯНИЙ ПО ЭРГОДИЧЕСКИМ

В этом параграфе мы увидим, что каждое инвариантное состояние на -абелевой -алгебре единственным образом представляется в виде интеграла (в некотором смысле) по множеству эргодических состояний. При изучении этих вопросов мы будем пользоваться языком и техникой теории интегральных представлений на выпуклых компактных множествах, принадлежащей Шоке (см. Д.5).

6.4.1. Теорема. Пусть в В-алгебре существует единица. Для каждого обозначим через А функцию на множестве определяемую равенством

а Пусть состояние и алгебра абелева. Тогда существует единственная максимальная мера на с результантом (см. Д.5). Эта мера определяется равенством

для любых I самосопряженных элементов

По предположению существует мера на принимающая значение в пространстве проекторов, такая, что

Пусть — полином от комплексных переменных, тогда

поэтому равенство (4.1) определяет линейный функционал на всех полиномах от непрерывный в топологии равномерной сходимости на Этот функционал однозначно (используя теорему Стоуна — Вейерштрасса) можно продолжить до функционала на пространстве всех непрерывных функций на т. е. до меры на при этом, очевидно,

Пусть где Тогда существуют (см. Д,3.5)

однозначно определенные самосопряженные операторы такие, что и

Из (4.3) следует, что Из -инвариантности состояний и единственности операторов следует также, что так что

Воспользуемся теперь единственностью конструкции Гельфанда — Сигала (см. Д.3.5) и отождествим с замыканием ограничением оператора на подпространство а вектор При этом операторы и также отождествляются с ограничениями операторов на подпространство В частности, алгебра абелева и поэтому определена мера Следовательно,

так что

и поэтому

Пусть теперь — мера на множестве с результантом , см. § Д.5), и пусть — непрерывная функция на По заданному можно иайти меру с конечным носителем, такую,

что Если функция выпукла, то

Поэтому оказывается единственной максимальной мерой на такой, что .

6.4.2. Следствие. Если алгебра содержит единицу и является -абелевой, то представляет собой симплекс.

Это утверждение вытекает из теоремы 6.4.1, определения 6.2.6 G-абелевой алгебры и определения симплекса (см. Д.5.3). Если алгебра абелева, то можно показать, что инвариантные вероятностные меры на компактном множестве с заданной группой гомоморфизмов образуют симплекс.

В «хороших случаях» максимальные меры сосредоточены на крайних точках множества т. е. на -эргодических состояниях. Это, в частности, верно, если В-алгебра сепарабельна и поэтому множество метризуемо (см. Д.5.4).

6.4.3. Предложение. Если В-алгебра G-абелева, сепарабельна и содержит единицу, то каждое -инвариантное состояние является результантом единственной меры, сосредоточенной на -эргодических состояниях.

В оставшейся части этого параграфа мы будем рассматривать состояния, ограничения которых на некоторые подалгебры в имеют норму 1. Такие состояния часто встречаются в физических приложениях.

6.4.4. Предложение. Пусть В-алгебра 91 со держит единицу, самосопряженная подалгебра в 21, Рассмотрим множество

Тогда

(а) множество является счетным пересечением открытых подмножеств пространства Е;

(б) если — вероятностная мера на Е с результантом то

Можно считать, что есть В-подалгебра в (заменив, если нужно, подалгебру на ее замыкание). Введем обозначение

тогда утверждение (а) следует из равенства

где

Докажем Предположим сначала, что и пусть где сосредоточены на соответственно.

Для всех имеем

где через А (как и раньше) обозначена функция на Е, задаваемая равенством Из (4.12) следует

а поэтому Таким образом, мера сосредоточена на при всех это означает, что ее носитель принадлежит

Пусть теперь мера сосредоточена на и, значит, на при всех . Существует компактное множество такое, что . Пусть — возрастающая аппроксимативная единица (см.

Д.3.2) подалгебры , тогда

Таким образом, существует конечный набор такой, что

Поэтому (см. Д.3.2) существует такое число что

Отсюда следует, что

и, значит, но поскольку это верно при всех то

6.4.5. Предложение. Пусть — счетное семейство В-подалгебр алгебры , такое, что плотно в . Для каждого а обозначим через За сепарабельный замкнутый двусторонний идеал алгебры и положим норма ограничения состояния на равна

Тогда справедливы следующие утверждения:

(а) если состояние то пространство — сепарабельно,

(б) существует последовательность самосопряженных элементов алгебры , обладающая следующим свойством: еслм для некоторого номера ;

(в) пусть алгебра G-абелева и содержит единицу, если — вероятностная мера на с результантом то

Поэтому каждое состояние является результантом единственной вероятностной меры сосредоточенной на

(а) Обозначим через замкнутое подпространство в порожденное векторами Из единственности конструкции Гельфанда — Сигала (см. следует, что ограничение представления на В-подалгебру унитарно эквивалентно представлению построенному с помощью ограничения состояния на Поскольку норма ограничения на идеал равна 1, то плотно в поэтому пространство сепарабельно; а так как все пространство порождается счетным семейством подпространств , то и сепарабельно.

(б) Для каждого а выберем счетное всюду плотное подмножество единичного шара в подпространстве самосопряженных элементов идеала , как-нибудь упорядочим счетное множество и обозначим соответствующую последовательность через Пусть а , тогда

Поэтому если то для некоторого I. С другой стороны, если при всех то это означает, что ограничения состояний на совпадают при всех а; отсюда (см. Д. 3.3) следует, что при всех а совпадают ограничения и а на Следовательно,

(в) Как известно (см. Д. 5.4), всякая мера сосредоточенная на , максимальна. Докажем обратное.

Предположим, что мера максимальна. Тогда (см. теорему 6.4.1) и мера сосредоточена на множестве (см. предложение Обозначим через отображение, ставящее в соответствие

каждому состоянию последовательность где последовательность, построенная в этой теоремы; является непрерывным отображением множества К в произведение счетного числа копий числовой прямой Зададим меру на выпуклом компактном множестве равенством

Докажем, что мера максимальна на Очевидно, что Пусть на тогда по любому и любому можно найти (см. меру с конечным носителем, принадлежащим такую, что

Пусть тогда поэтому из (б) следует Если функция выпукла, то

так как отображение аффинно. Поэтому так что мера максимальна.

Из метризуемости множества следует, что мера сосредоточена на следовательно, мера сосредоточена на Из утверждения (б) легко получить, что Теорема полностью доказана.