Д.6. ГРУППЫ С ИНВАРИАНТНЫМ СРЕДНИМ

Пусть — локально компактная группа, — абелева В-алгебра ограниченных непрерывных комплекснозначных функций, заданных на Для всякого элемента определим правый сдвиг и левый сдвиг функции равенствами

Состояние на называется правоинвариантным (соответственно левоинвариантным), если для всякого

Если на группе существуют правоинвариантные состояния, то существуют левоинвариантные и двусторонне инвариантные состояния; в этом случае говорят, что — группа с инвариантным средним.

Инвариантное состояние на группе существует, если абелева, или компактна, или допускает разложение на такие группы (например, группа движений евклидова пространства). С другой стороны, на связной полупростой группе Ли существует инвариантное состояние только в том случае, когда она компактна.

Д.6.1. М-сети. Семейство функций заданных по локально компактной группе называется М-сетью, если выполняются следующие условия:

(а) множество индексов упорядочено так, что для любых существует ;

(б) для всех а (здесь обозначает правоинвариантную меру Хаара);

Для того чтобы на группе существовала М-сеть, необходимо и достаточно, чтобы на группе существовало инвариантное состояние. Заметим, что если в существует счетная база, то в качестве множества индексов а можно взять совокупность неотрицательных целых чисел.