Д.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О В-АЛГЕБРАХ

В этом и следующем параграфах собраны элементы теории В-алгебр. Поскольку все факты сообщаются без доказательств, то порядок изложения отличается от общепринятого. Более обстоятельное введение в теорию В-алгебр содержится в первых двух главах книги

Диксмье [2]. (В дальнейшем мы будем обозначать ее через [Д].)

Д.2.1. Инволюция в алгебре над полем С. Пусть -алгебра над полем комплексных чисел С. Отображение алгебры на себя называется инволюцией, если оно

а) инволютивно, т. е.

б) антилинейно, т. е.

в) является антиавтоморфизмом, т. е. .

Д.2.2. В-алгебры. Алгебра над полем С с инволюцией и нормой называется -алгеброй, если выполняются следующие условия:

в) алгебра 91 является полным пространством (относительно равномерной топологии);

Д.2.3. Замечание. Условие (в), приведенное в предыдущем пункте, показывает, что алгебра является банаховым пространством относительно определенных в ней линейных операций и нормы.

Д.2.4. Алгебры функций. Пусть — локально компактное топологическое пространство и пространство непрерывных комплекснозначных функций, заданных на I и обращающихся в нуль в бесконечности. Пусть Обозначим через функцию, комплексно сопряженную к и положим

При таком определении инволюции и нормы алгебра оказывается абелевой В-алгеброй. И наоборот, каждая абелева В-алгебра изоморфна некоторой алгебре (см.

С-алгебры. Пусть — комплексное гильбертово пространство и — алгебра (над полем С) всех ограниченных операторов, действующих в Пусть

Обозначим через А сопряженный оператор и определим норму равенством

Подалгебра называется С-алгеброй, если она симметрична (т. е. и равномерно замкнута (т. е. полна в равномерной топологии). Каждая С-алгебра является В-алгеброй относительно инволюции и нормы И наоборот, каждая -алгебра изоморфна С-алгебре операторов в некотором гильбертовом пространстве (см. Д.3.6).

Д.2.6. Существование единицы. В-алгебра может обладать или не обладать единицей. Например, алгебра (см. обладает единицей тогда и только тогда, когда пространство компактно. Если содержит единицу 1, то

Пусть алгебра содержит единицу 1; элемент такой алгебры называется унитарным, если Унитарные элементы порождают всю алгебру (в действительности каждый элемент из является линейной комбинацией унитарных).

Д.2.7. Присоединение единицы. По каждой алгебре над полем С можно стандартным образом построить алгебру содержащую единицу. Эта алгебра состоит из пар , где Операции в определяются равенствами

Если в алгебре определена инволюция то в алгебре также определена инволюция

Если алгебра является В-алгеброй, то (см. [Д], 1.3.8) в алгебре существует норма, относительно которой является В-алгеброй. Эта норма определяется равен ством (2.10).

Существует изоморфизм алгебры на двусторонний идеал коразмерности 1 в алгебре ; этот изоморфизм сохраняет инволюцию, если таковая определена в , и норму, если является В-алгеброй.

Д.2.8. Спектр элемента. Пусть — алгебра с единицей над полем С и тогда множество

называется спектром элемента А. Если -алгебра над полем С и то по определению

Предположим, что является В-алгеброй, и определим спектральную норму по всем Если элемент А самосопряжен (т. е. то (см. [Д], 1.3.7)

Для любого элемент самосопряжен и ввиду условия

Д.2.9. Морфизмы. В-подалгеброй В-алгебры по определению называется равномерно замкнутая симметричная подалгебра алгебры .

Морфизмом (или -гомоморфизмом) В-алгебры , в В-алгебру называется такой гомоморфизм я: алгебр над полем С, что Можно показать (см. , что всякий морфизм не увеличивает нормы , следовательно, непрерывен. Поэтому ядром морфизма является замкнутый двусторонний идеал.

Можно доказать (см. что морфизм В-алгёбр инъективен (т. е. взаимно однозначно отображает на тогда и только тогда, когда он изометричен (т. е. сохраняет норму). В частности, всякий автоморфизм алгебры изометрично отображает ее на себя.

Если — замкнутый двусторонний идеал в В-алгебре , то симметричен; алгебра с обычной нормой фактор-алгебры является -алгеброй, и факторизация является морфизмом ([Д], 1.8.2). В частности, при всяком морфизме я: образ замкнут и поэтому является -алгеброй.

Д.2.10. Замечание. В-алгебры с морфизмами, введенными в Д.2.9, образуют категорию Из того, что сказано в Д.2.2, может показаться, что определение В-алгебры содержит существенно не алгебраическое понятие (а именно норму). Однако из равенства (2.10) следует, что норма в -алгебре определяется ее структурой как алгебры с инволюцией над полем С. Отметим еще, что при определении морфизма норма не используется.