§ 4.7. ПОСТРОЕНИЕ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА

В этом параграфе мы кратко обсудим замечательное свойство положительности, которым обладает последовательность корреляционных функций. В гл. 6 и 7 мы подробно рассмотрим подход к задачам статистической механики, основанный на использовании этого свойства.

Обозначим через пространство последовательностей в которых является

ограниченной комплексной борелевской функцией с компактным носителем и при достаточно больших все равны нулю (компонента , соответствующая представляет собой комплексное число

Обозначим через последовательность корреляционных функций, задаваемых равенствами (1.3) для ограниченной области Л, или термодинамический предел такой последовательности. По определению положим Напомним, что есть просто плотность вероятности нахождения различных частиц в заданных точках Обозначим через плотность вероятности нахождения не обязательно различных частиц в точках Ясно, что равняется плюс члены, содержащие произведения на функции при Легко доказать следующее равенство:

В пространстве зададим полуторалинейную форму равенством

Используя определение (7.1), получим, что

откуда следует Таким образом, форма (7.2) положительно полуопределена).

Для того чтобы воспользоваться этим свойством, введем еще некоторые обозначения. Для каждой последовательности определим последовательность равенством

а для каждой точки каждой последовательности определим равенством

Пусть Определим произведение

Положим

Тогда определение (7.2) можно переписать в виде

Начиная с этого места мы будем считать, что представляют собой предельные корреляционные функции и что они трансляционно инвариантны

Это условие можно записать иначе:

Свойства функций выражаемые условием и равенством (7.10), очень похожи на свойства положительности и инвариантности вакуумных средних от произведений операторов поля в релятивистской квантовой теории поля. Поэтому и в нашем случае применима конструкция Уайтмана, основанная на этих свойствах.

Факторизуем пространство по подпространству На факторпространстве скалярное произведение (7.8) уже положительно определено, и поэтому можно пополнить до гильбертова пространства

Пусть а — каноническое отображение из в Ф. Обозначим через образ где 1 —это единица в относительно произведения

Для каждой последовательности определим линейный оператор первоначально заданный на всюду плотном в § множестве

(Заметим, что если то поскольку для всех имеем

Зададим представление аддитивной группы равенством

Это представление унитарно, потому что

Теперь легко доказать следующую теорему.

4.7.1. Теорема. Существуют (а) гильбертово пространство линейное многообразие плотное в (в) вектор единичной нормой линейное отображение А пространства в семейство коммутирующих линейных операторов отображающих множество в себя, таких, что унитарное представление аддитивной группы такое, что

При этом выполняется тождество

Набор удовлетворяющий всем перечисленным условиям, определен однозначно с точностью до унитарной эквивалентности в предположении, что

В теории поля вектор называют вакуумным, а величину (7.14), выражающую среднее по ансамблю, — вакуумным средним. Если последовательность такова, что при то отображение можно записать в виде

и вообще можно записать в виде

и

«Поле» является операторнозначной мерой. Чтобы выяснить ее физический смысл, предположим, что последовательность такова, что при — характеристическая функция множества М. Подстановка в (7.1) показывает, что среднее является моментом числа частиц, попавших в множество М. Поэтому можно интерпретировать как оператор числа частиц в области М. Естественно ожидать поэтому, что если — непрерывная функция, такая, что при целых то выражение дает вероятность найти в точности частиц в области М. К сожалению, нельзя считать самосопряженным оператором, так что выражение вообще говоря, может не быть определено. Однако нам достаточно было бы знать, что оператор существенно самосопряжен, т. е. имеет только одно самосопряженное расширение. В связи с этим оказывается полезным следующий результат.

4.7.2. Теорема (Нельсон). Пусть А — симметрический оператор с областью определения §. Назсвгм вектор аналитическим для оператора А, если принадлежит области определения оператора при всех целых и степенной ряд

имеет ненулевой радиус сходимости.

Если множество аналитических векторов плотно в пространстве , то оператор А существенно самосопряжен.

Если ряд

имеет ненулевой радиус сходимости, то это же верно и для ряда

при всех (для доказательства можно воспользоваться неравенством Шварца) и, следовательно, всякий такой вектор — аналитический. Можно показать, что ряд (7.19) сходится, если существует такая константа что при всех выполняется

При этом условии оператор оказывается существенно самосопряженным Заметим, что условие (7.20) выполняется для корреляционных функций, фигурирующих в теореме 4.2.3 (см. также упражнение

Бывают случаи, когда оператор не является существенно самосопряженным и вероятность найти точно частиц в области М не выражается через корреляционные функции; таким образом, описание системы посредством корреляционных функций в этих случаях неполно (см. упражнение Заметим еще, что из существования корреляционных функций вытекает существование всех моментов для распределения числа

частиц в области М, а это является сильным ограничением на рассматриваемую вероятностную модель. Из этих замечаний видно, что состояния бесконечной системы лучше описывать при помощи «функционала усреднения», заданного на ограниченных величинах, а не на «неограниченном поле» А. Это равносильно замене корреляционных функций состояниями на соответствующей С-алгебре, как это описано в гл. 7.

Заметим еще, что конструкция Уайтмана может быть видоизменена заменой корреляционных функций на приведенные матрицы плотности и при этом «операторы поля», получаемые таким образом, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (для бозонов) или антикоммутационным (для формионов). Мы вернемся к этим вопросам в гл. 7,