§ 6.2. ИНВАРИАНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

6.2.1. Обозначения и определения. Пусть обозначает некоторую В-алгебру, — группу (всех) ее автоморфизмов. Мы назовем В-алгеброй с группой автоморфизмов тройку в которой — некоторая группа, а — групповой гомоморфизм.

Для всякого элемента обозначим через автоморфизм алгебры , соответствующий (при гомоморфизме Через обозначим линейный оператор в пространстве , сопряженном к , такой, что если то

Пусть обозначает подпространство алгебры , порожденное элементами вида где тогда

является пространством -инвариантных непрерывных линейных функционалов, заданных на .

Обозначим через Е множество всех состояний на является множеством всех -инвариантных состояний. Пространство слабо замкнуто в ; поэтому если в алгебре есть единица, то множество слабо компактно и выпукло.

Если воспользоваться конструкцией Гельфанда — Сигала (см. исходя из инвариантного состояния то возникает интересная ситуация.

6.2.2. Теорема (Сигал). Пусть — некоторая В-алгебра с группой автоморфизмов. Если — соответствующее циклическое представление алгебры , то существует единственное унитарное представление группы в пространстве такое, что для всех имеем

Если — топологическая группа и функции непрерывны на (для всех то сильно непрерывное унитарное представление в

Если то изометрический оператор определяется на всюду плотном множестве равенством

и продолжается на все пространство по непрерывности. Это определение удовлетворяет условиям теоремы и является единственно возможным ввиду условий (2.3) и (2.4). В случае топологической группы (сильная) непрерывность представления вытекает из равенства

6.2.3. Коммутативный случай. Предположим, что — абелева алгебра с единицей; с помощью гельфандовского изоморфизма (см. Д. 3.9) алгебру можно отождествить с алгеброй непрерывных комплекснозначных функций, заданных на компактном множестве К (пространстве максимальных идеалов, иначе называемом спектром алгебры ). Автоморфизм алгебры определяет преобразование пространства максимальных идеалов К в себя. Легко видеть, что гомеоморфизм пространства К. Пусть задана тройка и состояние и пусть обозначает вероятностную меру на К, соответствующую состоянию при гельфандовском изоморфизме.

G-инвариантность состояния эквивалентна инвариантности меры при гомеоморфизмах

Поэтому изучение инвариантных состояний на коммутативной В-алгебре совпадает с изучением инвариантных мер, что является одним из вопросов эргодической теории.

6.2.4. «Квазилокальные» алгебры. -алгебры, которые мы будем использовать для описания бесконечных систем статистической механики, обычно возникают следующим путем. Первоначально определяются Б-алгебры соответствующие ограниченным подмножествам А пространства (или конечным подмножествам А решетки (разумеется, такие, что

(а) для каждой пары областей задан изоморфизм алгебры и при этом если то ;

(б) для каждого сдвига пространства (или решетки и каждой области задан изоморфизм алгебры на такой, что , кроме того, если

(в) если то коммутирует с

Ввиду предположения (а) алгебры можно отождествить с подалгебрами алгебры , являющейся объединением всех алгебр В алгебре естественно вводится норма, но относительно этой нормы , вообще говоря, неполна; пополняя ее, мы получим Б-алгебру . Далее, ввиду предположения (б) существует естественный (групповой) гомоморфизм где в качестве группы рассматривается или Тройка полученная таким образом, будет называться «квазилокальной» алгеброй, построенной из «локальных» алгебр

Квазилокальную алгебру можно также определить как тройку где группа совпадает с заданную вместе с семейством подалгебр алгебры , соответствующих ограниченным подмноже

ствам пространства При этом предполагается, что выполнены следующие условия:

(г) объединение подалгебр плотно в .

6.2.5. -абелевы -алгебры. Рассмотрим тройку и пусть состояние Обозначим через оператор проектирования на подпространство образованное векторами, инвариантными относительно обозначает представление группы введенное в теореме 6.2.2). В § 6.3 и § 6.4 мы изучим ситуацию, когда алгебра фон Неймана [Рряр коммутативна, т. е. когда для всех имеем

6.2.6. Определение. Алгебра называется -абелевой, если для всех состояний алгебра фон Неймана, порожденная операторами коммутативна. Другими словами, алгебра называется -абелевой, если равенство (2.7) выполняется для всех всех

Ниже мы увидим, что примерами -абелевых алгебр могут служить абелевы и квазилокальные алгебры. Большая часть теории инвариантных мер переносится на инвариантные состояния на -абелевых алгебрах.

Для удобства читателя мы воспроизведем здесь следующий классический результат.

6.2.7. Теорема (Алаоглу — Биркгоф). Пусть — полугруппа сжатий гильбертова пространства т. е. множество операторов, действующих в и таких, что

Пусть Р — оператор ортогонального проектирования на подпространство векторов из инвариантных относительно всех операторов Тогда Р принадлежит сильному замыканию выпуклой оболочки полугруппы

Приведем теперь полезную характеристику -абелевых алгебр.

6.2.8. Теорема. В-алгебра тогда и только тогда -абелева, когда для любых самосопряженных элементов и любого состояния

где А пробегает выпуклую оболочку множества

Прямо из определения следует, что алгебра 91 тогда и только тогда -абелева, когда для всякого для всякого , такого, что и любых самосопряженных элементов таких, что справедливо равенство

Покажем сначала, что из (2.8) следует (2.9). По теореме 6.2.7 по заданному можно найти и такие что

Поэтому если положить

то получим, что для всех имеет место

Пусть заданы такие, что , и Используя (2.12), найдем, что

Поскольку состояние инвариантно, то из (2.8) следует, что при соответствующем выборе чисел и элементов выполняется неравенство

Таким образом, левая часть неравенства (2.13) не превосходит ; тем самым равенство (2.9) доказано.

Покажем теперь, что из равенства (2.9) вытекает (2.8). Используя (2.9), мы получим, что для удовлетворяющих условию (2.10), справедлива оценка

Если в качестве вектора выбрать то получим, что

что и доказывает равенство (2.8).

6.2.9. Следствие. Пусть Н — подгруппа группы Тогда всякая Н-абелева В-алгебра является также и -абелевой.

Это утверждение легко вытекает из теоремы 6.2.8; нужно только заметить, что и что выпуклая

оболочка множества содержит выпуклую оболочку множества .

6.2.10. Следствие. Для того чтобы В-алгебра была -абелевой, достаточна выполнения любого из следующих условий:

(а) множество пусто;

(б) алгебра абелева;

(в) для всякого состояния и любых самосопряженных элементов имеет место

(г) группа локально компактна, а алгебра 91 «слабо асимптотически абелева» в том смысле, что для любых , и любого функционала

(д) алгебра «асимптотически абелева», т. е. вместо (2.18) выполняется более сильное равенство

(е) алгебра квазилокальна в смысле 6.2.4.

Достаточность условия (а) очевидна; достаточность (в) вытекает из теоремы 6.2.5. Кроме того, как легко показать,

что и заканчивает доказательство следствия.

6.2.11. Следствие. Всякая В-алгебра (с единицей) является -абелевой, если в качестве группы выбрана группа всех унитарных элементов алгебры , а представление на задается равенством

Это вытекает из того факта, что -инвариантные состояния (называемые «следами») удовлетворяют условию для всех элементов

6.2.12. Случай группы с инвариантным средним.

Представляет особый интерес случай, когда на группе фигурирующей в тройке существует инвариантное среднее (см. § 6.6), а представление непрерывно в некотором смысле. В этом случае, например, если в алгебре есть единица, то множество -инвариантных состояний непусто (см. предложение 6.2.13). Кроме того, для таких групп можно получить более явное описание проектора в терминах операторов чем при помощи теоремы Алаоглу — Биркгофа (см. предложение 6.2.14).

6.2.13. Предложение. Пусть на группе существует инвариантное среднее, а функции заданные на непрерывны всех и всех а , тогда

(а) если , — В-подалгебра алгебры , инвариантная относительно — произвольное -инвариантное состояние на то существует -инвариантное состояние на алгебре , являющееся продолжением Если состояние является крайней точкой множества -инвариантных состояний на то в качестве состояния может быть выбрана крайняя точка множества -инвариантных состояний на ;

(б) если в алгебре есть единица, то

(а) Пусть обозначает некоторое продолжение состояния на алгебру (см. По предположению функции ограничены и непрерывны на Пусть — правоинвариантное среднее на положим тогда оказывается положительным -инвариантным функционалом на алгебре и Ограничение функционала на совпадает

с и поэтому Пусть обозначает множество всех -инвариантных продолжений функционала на алгебру — непустое выпуклое слабо компактное множество. Если крайняя точка множества всех -инвариантных состояний на , то легко показать, что в этом случае каждая крайняя точка множества является крайней точкой множества если это не так, то где поэтому не является продолжением состояния что противоречит тому, что крайняя точка). Утверждение (а) доказано.

Для того чтобы вывести (б) из нужно в качестве взять алгебру элементов, кратных 1.

6.2.14. Пр едложение. Пусть на группе существует инвариантное среднее и функции непрерывны на (для всех . Если — произвольная М-сеть2) на то

По теореме 6.2.2 представление сильно непрерывно, поэтому равенство (2.19) вытекает из следующей «эргодической теоремы о среднем».

6.2.15. Предложение. Пусть — произвольная М-сеть на группе — сильно непрерывное унитарное представление группы в комплексном гильбертовом пространстве и Р — оператор проектирования на подпространство в §, образованное векторами, инвариантными относительно представления Тогда

Мы должны показать, что для любого вектора

Это очевидно для векторов таких, что (потому, что при всех Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда Ядром оператора Р является ортогональное дополнение к подпространству

Поэтому ядро оператора Р порождается векторами вида где Если то для любого можно найти такое число , такие векторы и такие элементы что

Отсюда видно, что достаточно доказать равенство

для всех Оно вытекает из оценки

6.2.16. Предложение. Пусть на группе существует инвариантная мера, а функции непрерывны на (при всех и всех а ), и пусть некоторая М-сеть на

Для того чтобы В-алгебра была -абелевой, необходимо и достаточно, чтобы для любых самосопряженных элементов и любого состояния выполнялось равенство

Пусть Используя предложение 6.2.14 и заменяя на получим, что равенство (2.23) эквивалентно следующему:

которое в свою очередь эквивалентно (2.7). Поэтому В-алгебра тогда и только тогда -абелева, когда равенство (2.23) справедливо.