§ 5.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА ПЕРВОГО РОДА ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

В этом пункте мы рассмотрим решетчатый газ с парным взаимодействием. Теорема 5.1.3 показывает, что если потенциал парного взаимодействия отрицателен, то фазовый переход возможен только при (где величина определена равенством Мы докажем, что для подходящего класса потенциалов парного взаимодействия в точке происходит фазовый переход, если только температура достаточно мала. Этот фазовый переход является переходом «первого

рода», т. е. плотность как функция активности претерпевает в этой точке скачок.

5.3.1. Теорема. Рассмотрим решетчатую систему с парным взаимодействием, т. е.

Положим

и

Обозначим через значения потенциала на всех базисных ортах, и пусть

где обозначает суммирование по всем узлам кроме 0 и ближайших к нулю узлов.

Если

при при достаточно малых значениях в точке происходит фазовый переход первого рода.

Для доказательства положим

Величина совпадает с малой статистической суммой, вычисленной для системы спиновых частиц, взаимодействующих с потенциалом если спины частиц, находящиеся в точках х и у, противоположны, и с потенциалом 0 в остальных случаях. Соответствующую большую статистическую сумму можно в обозначениях § 5.1 записать в виде

5.3.2. Предложение. Пусть кубический «ящик» А стремится к бесконечности.

(а) Если то предел

существует. Он является положительной вогнутой функцией плотности на отрезке [0, 1] (рис. 14) и удовлетворяет условию

(б) Если то функция определенная равенством (3.3), удовлетворяет условиям

Результаты подобного рода были рассмотрены в гл. 3, и сейчас мы воздержимся от формального доказательства. Мы покажем, что при достаточно малых

температурах график функции содержит горизонтальный отрезок (рис. 14).

Рис. 14. Зависимость свободной энергии от плотности при фазовом переходе первого рода.

Отсюда, используя (3.10), легко получить существование фазового перехода первого рода в точке

5.3.3. Предложение. Для каждого куба выберем некоторую совокупность М подмножеств куба А и положим

Если

и

то функция постоянна на отрезке

Пусть задано Построим последовательность кубов такую, что и

Тогда

Поэтому

так что

Если числа выбраны так, что

то равенство (3.15) принимает вид

Выбирая, если это необходимо, подпоследовательность областей мы можем считать, что

Тогда из (3.8), (3.16) и (3.10) следует

что и доказывает предложение 5.3.3.

5.3.4. Выбор совокупности . Пусть сторона куба Л имеет длину

Положим

В качестве совокупности подмножеств фигурирующей в предложении 5.3.3, выберем совокупность всех

подмножеств куба . При таком выборе предложение

5.3.3 можно переформулировать следующим образом. Переопределим большой канонический ансамбль (при введя нулевое «граничное условие» (т. е. потребовав, чтобы в каждом расположении все узлы на границе куба Л были свободными). Если при таком переопределении меняется средняя плотность заменяется на число, не превосходящее то это означает наличие фазового перехода первого рода.

Рис. 15. Многогранник

Таким образом, чтобы доказать теорему 5.3.1, достаточно убедиться в справедливости неравенства (3.14), так как справедливость (3.13) очевидна. Для этого мы введем некоторые новые понятия и обозначения.

Будем считать, что решетка обычным образом вложена в Пусть задано множество (т. е. Для каждого узла построим -мерный единичный куб с центром в х и исключим из рассмотрения те грани построенных кубов, которые встречаются дважды. Оставшиеся грани образуют замкнутую поверхность которую обозначим через Г (5). Каждая грань, принадлежащая Г (5), отделяет узел от узла Каждое -мерное ребро многогранника Г (5) служит пересечением двух или четырех граней построенных кубов. В последнем случае (пересечение четырех граней) мы слегка изменим наш многогранник, «срезав» ребра у кубов, содержащих точки из 5 (рис. 15). После этого поверхность Г (5) разобьется на связные компоненты которые мы назовем циклами.

Для заданного цикла у обозначим через число точек решетки лежащих внутри цикла у, и через число граней цикла ортогональных координатной оси. Начальной точкой цикла у мы назовем

узел содержащийся внутри у и первый среди всех таких узлов в смысле лексикографического порядка в

Докажем теперь три простые леммы, содержащие оценки энтропии, числа частиц и энергии, ассоциированные с циклом у, в терминах чисел

5.3.5. Лемма. Число циклов у с заданными значениями не больше чем

Доказательство. Рассмотрим циклы у с фиксированной начальной точкой; граней единичного куба с центром в этой точке принадлежит циклу у. Будем теперь строить цикл у, прикладывая грань к грани. При каждом «прикладывании» к фиксированному -мерному ребру есть три возможности.

Всего нужно «пристроить» граней. Поэтому число циклов с заданным набором и фиксированной начальной точкой не больше чем откуда и вытекает утверждение леммы.

5.3.6. Лемма. Пусть состоит из циклов тогда

и для любого цикла у

Поскольку циклы могут содержаться друг в друге, то

где Отсюда следует оценка (3.19).

Если у — цикл, то (3.20) означает, что его объем не превосходит объема параллелепипеда, грани которого имеют площади

5.3.7. Лемма. Пусть Положим

Пусть состоит из циклов — из циклов Тогда

Доказательство. Множества и таковы, что Заметим, что две точки , которые одновременно лежат внутри или вне цикла привносят один и тот же вклад в и Каждая грань цикла разделяет пару «ближайших соседей» таких, что с другой стороны, либо либо и уф Каждая такая пара дает множитель в (3. 22). Существует не больше чем способов, которыми вектор может быть представлен в виде разности или где

узел х лежит внутри цикла а у — вне . (Для доказательства соединим узлы х и у ломаной линией, состоящей из отрезков параллельных координатным осям; эта ломаная должна пересечь поверхность цикла Если грань, по которой происходит (первое, считая от точки пересечение, перпендикулярна координатной оси, то такое пересечение может произойти способами.) Поэтому кроме множителя, соответствующего ближайшим соседям, статсуммы отличаются самое большее множителем

что и завершает доказательство леммы.

Перейдем теперь к доказательству неравенства (3.14). Из (3.19) и (3.21) следует, что

где через обозначена сумма величин по всем множествам граница которых содержит цикл -Легко показать, что

Для доказательства оставим в знаменателе левой части сумму только по тем множествам для которых при некотором и затем воспользуемся оценкой (3.22).

Из соотношений (3.23), (3.24) и (3.20) следует, что

Из неравенства (3.25), заменяя суммирование по циклам на суммирование по всем наборам чисел и используя лемму 5.3.5, получим

Из этой оценки следует, что при достаточто больших справедливо неравенство (3.14). Тем самым теорема 5.3.1 доказана.