§ 2.4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ

В п. 1.3.3 мы отметили, что классические решетчатые системы являются Частным Случаем квантовых шетчатых систем. Эту связь можно установить, если выбрать базис в для каждого такой, что

и в гл. 1 подставить формулу (3.18) в (3.17)). Мы рассмотрим здесь частный случай решетчатого газа при т. е. случай, при котором в каждом узле шетки может находиться не более одной частицы. Введем обозначение

где Мы полагаем, что

где «потенциал» Ф является функцией, определенной на конечных подмножествах Равенство (4.3) эквивалентно утверждению, что пустые узлы не вносят вклада во взаимодействие; в частности, не зависит от индекса А, который мы в дальнейшем будем опускать. Заметим, что соотношение инвариантности (2.3) переходит в равенство

Теперь, используя результаты § 2.2 и 2.3, мы дадим общее описание решетчатого газа, полученное указанным методом.

Пусть Ф — действительная функция, определенная на конечных подмножествах инвариантная относительно сдвига, т. е.

для всех и такая, что Обозначим буквой пространство таких функций, для которых

где количество точек в X. По отношению к норме есть действительное банахово пространство. Пусть — подпространство пространства 98, состоящее из тех Ф, для которых только на конечном числе множеств (потенциал конечного радиуса действия). Положим

тогда, если то

Пусть А — конечное подмножество конфигурация классического решетчатого газа в описывается

множеством занятых узлов. Чтобы задать ансамбль, припишем каждой конфигурации X вес

Пусть — подпространство , состоящее из функций Ф, таких, что при — частичные потенциалы). Вследствие (4.5) пространство одномерно и можно записать

где представляет собой действительную ось, а состоит из тех Ф, для которых при В соответствии с (4.10) при будем писать , где тогда имеем

Если ввести обозначения то выражение (4.9) примет вид

совпадающий по форме с мерой в большом каноническом ансамбле (см. формулу (2.14) гл. 1). «Большая статистическая сумма», соответствующая (4.12), будет иметь вид

Введем также

так что

и определим

2.4.1. Теорема. Если то существует и конечен следующий предел.

где стремится к бесконечности в смысле Ван Хова. Кроме того:

(б) функция выпукла и положительна на Имеем

Теорема 2.4.1, за исключением утверждения о положительности следует из теоремы 2.3.3, частным случаем которой она является. Положительность следует из (4.19).

Если положим

2.4.2. Периодические ящики. Мы можем, как в п. 2.3.4, заключить систему с взаимодействием периодический ящик, полученный путем склеивания противоположных сторон при достаточно большом а. Потенциальная энергия множества равна

где Ф таково, что для всех имеет место

Тогда, если , имеем

Можно определить до формулами, аналогичными (4.14) и (4.16). Так же, как в квантовом случае,

2.4.3. Связь со спиновыми системами. Будем говорить, что является парным взаимодействием, если при т. е. если Пусть Ф также имеет конечный радиус действия; тогда, используя (4.23), можно записать потенциальную энергию для периодического ящика в виде

Мы можем, таким образом, интерпретировать как потенциальную энергию спиновой системы с потенциалом взаимодействия между узлами х, у, равным если эти узлы имеют различные спины, и равным нулю в противном случае.

Потенциальная энергия, соответствующая правой части формулы (4.25), в случае области (а не периодического ящика) имеет вид

Для классического случая периодического ящика формулы (4.24) и (4.25) приводят к соотношению

Условие можно отбросить, так как потенциалы взаимодействия с конечным радиусом действия всюду плотны в и для выполняется условие равностепенной непрерывности (2.16). Таким образом:

для всех имеет место

где А стремится к бесконечности в смысле Ван Хова.

2.4.4. Свойство симметрии. Уравнение (4.25) показывает, что для парных взаимодействий потенциальная энергия решетчатого газа может быть записана в такой форме, что занятые и пустые узлы решетки играют симметричные роли. Более того, можно заменить, взаимодействие Ф между занятыми узлами, первоначально входившее в (4.3), взаимодействием между пустыми узлами. Положим, что существует такое, что при (это выполняется, если Ф — парное взаимодействие или имеет конечный радиус действия), и определим следующим образом:

Ясно, что линейно отображает в себя, и можно легко проверить, что является инволюцией, т. е.

Пусть теперь Рассмотрим снова систему, заключенную в достаточно большой периодический ящик. Если находим, что

С другой стороны,

Поэтому, используя (4.23), получаем

Из (4.31) имеем

и, следовательно,

Мы доказали (4.32) для но это тождество вследствие непрерывности остается справедливым и для всех Заметим, что замена Ф на в формуле (4.32) дает