§ 7. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Здесь мы даем краткий комментарий к ряду работ последнего времени, относящихся к теме этой книги, а также и к некоторым более ранним работам, не упомянутым в ней. Мы условно разбили эти статьи по нескольким рубрикам (соответствующим приблизительно расположению материала в самой книге), но иногда одна и та же статья появляется в двух или трех рубриках. Особо отмечены работы, упоминаемые в приложении.

I. Устойчивость. Свойства термодинамических функций. В работе Рюэля [14] подробно исследованы свойства систем для сверхустойчивых потенциалов (см. п. 3.2.9); на этот случай перенесены многие результаты, полученные ранее для более специальных классов потенциалов, в частности, результат Добрушина и Минлоса [1] о непрерывности давления (см. п. 3.4.8). Жинибр [8] доказал также непрерывность давления для квантовых систем.

Ленард и Шерман [1] изучили вопрос о разложении решетчатого одномерного устойчивого периодического потенциала в сумму неотрицательной и неотрицательно определенной функций. Для некоторых значений периода вопрос решается положительно, для других же приведены отрицательные примеры. В работе Лебовица и Либа [1] сформулирована теорема Ван Хова и Ли и Янга (а также дан набросок их доказательств) для случая нейтральных кулоновских систем как в квантовом, так и в классическом случае. Наср [1] независимо получил аналогичный результат для случая нейтральной классической системы кулоновских частиц с твердой сердцевиной. В работе Новикова [1] доказано, что для непрерывных квантовых систем гельмгольцевская свободная энергия, а также гиббсовская свободная энергия в термодинамическом пределе не зависят от выбора граничных условий, определяющих гамильтониан системы в конечном сосуде. В работе Робинсона [3] получен аналогичный результат, но для более узкого класса граничных условий.

11. Предельные характеристики в однофазном случае, их аналитические свойства. В ряде работ исследуется существование и свойства предельных корреляционных функций, приведенных матриц плотности, функций Грина и т. д. для той области термодинамических параметров, когда система однофазна (малые или малые Здесь следует указать, во-первых, работу Боголюбова и Хацета [1], где впервые было установлено существование предельных корреляционных функций с помощью корреляционных уравнений (см. гл. 4), а также продолжение этой работы в статье Хацета [1] и в недавней статье Боголюбова, Петрины и Хацета [1], в которой был учтен ряд усовершенствований, содержащихся в работе Д. Рюэля [3] (см. разд. 4.2). Некоторые упрощения доказательств можно найти в заметке Симятицкого [1] (см. приложение § 2).

Жинибр [5] доказал существование предельных приведенных матриц плотности для квантовых спиновых систем (например, для модели Гейзенберга) для малых значений активности. Метод Жинибра (сведение к

функциональному усреднению) аналогичен методу, примененному им в непрерывном случае (см. разд. 4.6). Используя результаты этой работы, Жинибр и Грубер [1] доказали существование предельных функций Грина для анизотропной модели Гейзенберга и исследовали их аналитические свойства.

Далее, Рюэлем [13] с помощью методов Жинибра (см. разд. 4.6) было доказано существование термодинамического предела для так называемых температурных функций Грина в случае малой активности для непрерывных квантовых систем и исследованы аналитические свойства этих функций.

В работе Галлавотти, Миракль-Соля и Робинсона [2] доказано существование различных предельных характеристик и их аналитичность для спиновых квантовых систем в области высоких температур. В статье Лебовица и Пенроуза [2] приведен обзор результатов, касающихся группового свойства коррелляционных функций, а также их аналитических свойств для широкого класса систем статистической физики. Лебовиц [2] доказал аналитическую зависимость термодинамических функций от плотности (или активности) и температуры при малых значениях плотности (активности) для потенциалов типа Ленарда—Джонса (см. П. 3.2.10). В работе Галлавотти и Миракль-Соля [4] установлено групповое свойство для решетчатых систем при высоких температурах (и всех значениях химического потенциала), для этого случая также исследованы аналитические свойства термодинамических функций. Близкие результаты получены Добрушиным в [5].

III. Фазовые переходы. В одной части исследований, относящихся к этой теме, устанавливается существование фазовых переходов (понимаемых как наличие некоторых нерегулярностей в предельном термодинамическом описании системы) для широкого класса решетчатых систем (классических и квантовых), изучается поведение систем в области фазовых переходов, а также характер этих переходов. Другие же исследования, наоборот, посвящены доказательству отсутствия фазовых переходов (в основном, в одномерных системах).

Следует начать с работы Добрушина [3] (см. приложение, § 1), в которой установлено существование фазового перехода 1-го рода для широкого класса решетчатых потенциалов (охватывающего случаи, рассмотренные Березиным и Синаем [1] (см. теорему 5.3.1) и Жинибром, Гроссманом и Рюэлем [1] (см. теорему 5.4.7). Далее, надо указать на работу Минлоса и Синая [3], в которой исследовано поведение изотермы на концах плоского участка (см. приложение, § 3), затем на цикл работ этих авторов (Минлос и Синай [1], [2]), где подробно исследуется структура типичных конфигураций в области фазового перехода (см. приложение, § 3). В работе Добрушина [6], наряду с другими вопросами, рассмотрены случаи фазовых переходов в системах с отталкиванием (см. приложение, § 1). Далее, в работах Гриффитса [5], [6] доказано существование фазового перехода в решетчатых спиновых системах, в которых спин может принимать более двух значений (т. е. на языке решетчатого газа для многокомпонентных систем). В работах Жинибра [6] и Робинсона [2] одновременно и независимо установлено существование фазового перехода в некоторых спиновых квантовых системах, в частности, в анизотропной модели Гейзенберга (см. приложение, § 5). В работах Дайсона [3], [4] установлен фазовый переход [типа «дальнего порядка» (см. п. 5.4.2)] для некоторого класса одномерных решетчатых систем с медленно убывающим потенциалом, а также показано, что при более быстром убывании «дальний порядок» отсутствует (см. приложение, § 4). В работах Добрушина [5] и Рюэля [10] одновременно и независимо доказано, среди прочего, отсутствие фазовых переходов в одномерных решетчатых системах с достаточно быстро убывающим потенциалом (см. теорему 5.6.5, а также приложение, § 4). В работах Добрушина [7] и Галлавотти с Миракль-Солем [5] предыдущий результат одновременно и независимо перенесен на случай непрерывных систем частиц с твердой сердцевиной (см. приложение, § 4). Сухову [2] удалось обобщить последний результат на случай финитных потенциалов, быстро растущих в нуле (см. приложение, § 4). Наконец, в статье Араки [1] доказано отсутствие фазовых переходов в одномерных квантовых

спиновых системах с финитным взаимодействием (см. приложение, § 4). Аналогичный результат для квантовых непрерывных систем частиц с твердой сердцевиной и быстро убывающим взаимодействием получен Суховым [5] (см. приложение, § 4).

IV. Критическая точка. Для систем, в которых установлен фазовый переход 1-го рода (например, модель Изинга) критической точкой (иначе именуемой точкой Кюри) называют то значение температуры, ниже которой при наступает фазовый переход 1-го рода (см. п. 5.4.9). Имеется ряд работ, где делаются оценки для этой точки, изучается зависимость этой точки, а также этих оценок от параметров системы, характер особенности различных термодинамических величин в этой точке. Здесь надо указать работы Уэнга, Гриффитса и Фишера [1], а также Гриффитса [4, III], где находятся некоторые нижние оценки для критической температуры, работы Фишера [4] и Букингема с Гантоном [1], где установлены аналогичные верхние оценки. В работах Фишера [5], [6] изучается характер убывания корреляций вблизи критической точки. В работе Фердинанда и Фишера [1] изучается термодинамическое поведение конечной системы при значении температуры, лежащей в окрестности критической точки — размер системы). Изучение критической точки как точки вырождения спектра трансфер-матрицы предпринято в работе Томсона [1]. В этой связи полезно указать работу Минлоса и Синая [4], в которой при высоких температурах исследуется асимптотика спектра трансфер-матрицы в термодинамическом пределе.

Эта асимптотика имеет очень общий характер (типа спектра «элементарных возбуждений»), как это впервые было установлено на основе явных вычислений в известной работе Онзагера для случая модели Изинга.

В работе Гринберга [1] находятся границы для критической точки в квантовом решетчатом газе. В работе Гриффитса, Харста и Шермана [1] для модели Изинга доказана вогнутость удельного намагничивания как функции магнитного поля Н при положительном Н. Этот результат используется для обоснования некоторых

предположений о поведении системы в окрестности критической точки.

V. Предельные гиббсовские состояния. Следует упомянуть работы Минлоса [1], [2], где одновременно с Рюэлем [8] и независимо от него было введено понятие предельного распределения Гиббса, доказано его существование при малых значениях активности и исследованы различные его эргодические свойства. Затем в большом цикле работ Добрушин [4] -[9] дал общее определение предельного гиббсовского состояния, исследовал вопрос об единственности такого состояния и привел некоторые примеры неединственности, изучил ряд свойств таких состояний (приложение, § 1; см. в связи с этим также работы Аверинцева [1] и Вассерштейна [1]). Независимо, но значительно позже такой же подход был предложен в работе Ланфорда и Рюэля [2] и с его помощью получены некоторые интересные результаты (см. приложение, § 1). В недавней работе Рюэль [14] обобщил ряд результатов упомянутых работ Добрушина и Ланфорда с Рюэлем на случай непрерывных систем со сверхустойчивым потенциалом. В работе Добрушина [10] то же самое сделано для более узкого класса потенциалов. В работе Ланфорда и Робинсона [2] ряд фактов, касающихся предельного состояния для классического случая, переносится на случай квантовых спиновых систем. В работе Браскампа [1] показано, что определение предельного распределения Гиббса при помощи условных вероятностей (см. приложение, § 1) связано с классическим аналогом условий Кубо — Мартина — Швингера (см. разд. 7.6). Условиям Кубо — Мартина — Швингера для предельных состояний и их связи с различными другими свойствами этих состояний посвящены работы Араки и Мияты [1], Росса, Сирки и Тестарда [1], Такесаки [1]; в последней работе показано, что если в некотором диапазоне температур Т состояния удовлетворяют условиям Кубо — Мартина — Швингера, то ассоциированные с ним алгебры фон Неймана (с помощью конструкции Гельфанда — Сигала, см. Д. 3.5) являются при разных Т не эквивалентными между собой факторами (типа III). Структура С-алгебр, связанных с

состояниями для решетчатых систем, а также временные автоморфизмы этих алгебр исследуются в работе Манусо и Тротина [1]. В работе Миракль-Соля и Робинсона [1] изучаются инвариантные относительно сдвигов состояния на алгебре, порожденной фермиевскими операторами вторичного квантования. Ёлинек [1] изучает аналогичные вопросы применительно к модели Бардина—Купера—Шриффера. Существование и единственность гиббсовского состояния для одномерных решетчатых систем с быстроубывающим потенциалом при всех значениях доказана в упоминающихся выше работах Добрушина [5] и Рюэля [10] (см. приложение, § 4). В работах Добрушина [7] и Галлавотти и Миракль-Соля [5] (уже упоминавшихся) этот результат обобщен на случай непрерывных систем одномерных классических частиц с твердой сердцевиной (см. приложение, § 4). Сухов [2], [3] установил аналогичный результат для случая финитных потенциалов, быстро растущих в нуле (см. приложение, § 4). Для случая квантовых одномерных решетчатых систем с финитным взаимодействием Араки [1] доказал существование предельного состояния Гиббса и изучил ряд его свойств (см. приложение, § 4). Для непрерывных квантовых одномерных систем частиц с твердой сердцевиной аналогичный результат получен Суховым [4], [5] (см. приложение, § 4). Наконец, случай предельного состояния при исследован в работе Рюэля [12], где показано, что основное состояние квантовой системы (для достаточно обширного множества параметров) имеет термодинамический предел. Аналогичные рассуждения для классических систем содержатся в работе Шрадера [1]. В работе Халфиной [1] при малых значениях активности для большого канонического ансамбля получена локальная предельная теорема для распределения вероятностей числа частиц, попавших в большую область (как для состояния в конечном сосуде, так и для предельного состояния), и с помощью этого результата установлена предельная эквивалентность малого и большого ансамблей (см. приложение, § 2). Аналогичный результат для случая распределения вероятностей для значений энергии и числа Частиц в решетчатом ансамбле содержится в работе

Минлоса и Халфиной [1]. В работе Рюэля [11] изучаются общие свойства феномена «распадения симметрии» (см. п. 6.5.2). В работе Новикова [2] построено предельное состояние Гиббса для случая -мерных квантовых систем при малых значениях активности и исследованы его эргодические свойства. Далее следует указать работу Добрушина [10], где изучение предельного состояния проводится с помощью специального марковского процесса, для которого гиббсовское распределение служит инвариантной мерой (см. приложение, § 1).

К описываемой теме примыкает ряд работ по общим вопросам С-алгебр. Это работы Емча, Кнопса и Фербовена [1], [2], где изучается вопрос о продолжении состояния, определенного на самосопряженных элементах С-алгебры, на всю алгебру (статья Рюэля [15]), в которой для заданного компакта в пространстве состояний и заданного состояния изучается вопрос о представлении как центра тяжести масс, распределенных на Е.

VI. Некоторые вопросы неравновесной статистической физики. В последнее время появились работы, в которых строгие методы, развитые для равновесной статистической физики, стали применяться и к кинетике. Прежде всего следует указать работы Ланфорда [1,1 и II], где доказано существование решений уравнений динамики для бесконечной одномерной системы с бесконечным числом частиц и исследованы свойства соответствующей динамической системы (см. приложение, § 6). Далее в работах Галлавотти, Ланфорда, Лебовица [1] и Г аллавотти [1] изучается вопрос о том, как изменяется со временем равновесное состояние под действием возмущения системы внешним полем. При этом оказывается, что изменение корреляционных функций со временем описывается известной цепочкой кинетических уравнений (см., например, книгу Боголюбова [1]). Приближение к равновесному состоянию в некоторой специальной модели, где взаимодействуют тяжелые и легкие частицы, рассматривается в работе Г аллавотти [2]. Можно еще указать работу Волковысского и Синая [1], в которой для случая бесконечного идеального одномерного газа показано, что динамическая система,

порождаемая уравнениями движения его частиц, вместе с обычным равновесным распределением является К-системой. Эволюция во времени для состояний квантовых спиновых систем рассматривается в работе Рускаи [1].

VII. Случайные системы. В некоторых работах изучаются гиббсовские распределения, у которых параметры системы случайны. В работе Бурке и Лебовица [1] рассматривается система невзаимодействующих частиц со случайно расположенными спиновыми центрами. В работе Гриффитса и Лебовица [1] рассматриваются решетчатые системы со случайными сосудами: любая точка решетки независимо от остальных с вероятностью может принадлежать сосуду, а с вероятностью — не принадлежать. Для таких систем получено большинство результатов, известных для обычных решетчатых систем, в частности, существование фазовых переходов 1-го рода при низких температурах. Отсутствие фазовых переходов и аналитичность корреляционных функций при высоких температурах для таких систем доказаны Галлавотти [3]. Гриффитс [7] обнаружил, однако, что для случайной модели Изинга в отсутствии внешнего магнитного поля имеется особенность в точке лежащей строго выше точки в которой появляется спонтанная намагниченность.

VIII. Неравенства Гриффитса. Заметим, что во многих из перечисленных выше работ используется техника, связанная с неравенствами Гриффитса. Имеется, кроме того, ряд работ, непосредственно посвященных этим неравенствам или различным их следствиям. В работе Шермана [1] устанавливается ряд новых неравенств для корреляций с помощью одного изящного алгебраического подхода.

В другой работе Шермана [2] неравенства Гриффитса переносятся на случай систем с произвольным значением спина. Жинибр [9] дал простое доказательство и некоторые обобщения второго неравенства Гриффитса. В работе [7] Жинибр исследовал общую природу неравенств Гриффитса и дал их обобщения, применимые уже в

некоммутативном (квантовом) случае. Харст и Шерман [1] показали, однако, что в случае ферромагнитной модели Гейзенберга второе неравенство Гриффитса уже неверно. Шерман в работе [3] изучает вопрос, как по корреляциям спинов в модели Изинга узнать, является ли эта модель ферромагнитной (т. е. с чисто притягивающим потенциалом).

IX. Существует ряд обзоров по теме этой книги, содержащих также большую библиографию: обзоры Минлоса [3], Лебовица и Пенроуза [2], Лебовица [1], Гриффитса [8] и Фишера [5]. Представляет большой интерес книга Фишера [7], вышедшая в русском переводе.