§ 7.4. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

Известный принцип термодинамики утверждает, что при фиксированных значениях энергии и плотности системы максимум энтропии достигается на равновесном

состоянии. В этом параграфе мы докажем этот принцип в виде, приспособленном к бесконечным системам.

Определим прежде всего среднюю удельную энергию, приходящуюся на узел решетки, для системы с взаимодействием и описываемой инвариантным состоянием

Введем сначала величину равенством

для классического газа и равенством

для квантовых решетчатых систем. Из определения видно, что отображение из в не увеличивает нормы. Для классического газа, используя (1.2), в случае конечного сосуда мы получим

Последнее равенство показывает, что равно вкладу начала координат в энергию системы. Аналогичная интерпретация справедлива и для квантовых систем. Поэтому мы можем рассматривать как среднее значение удельной энергии, приходящейся на один узел решетки, в инвариантном состоянии для взаимодействия Ф.

7.4.1. Теорема. Пусть тогда

Поскольку то обе части равенства (4.4) непрерывно зависят от Ф. Поэтому достаточно доказать теорему для е. для финитных взаимодействий). В этом случае существует такое конечное множество что Для определенности мы будем рассматривать случай решетчатого газа.

Покажем сперва, что для каждого состояния

Используя систему распределений плотности связанных с состоянием получим, что при

Отсюда и из равенства (4.3) следует

С другой стороны, из предложения 7.2.3 следует

Из равенств (4.7), (4.8) и вогнутости логарифма получаем

Неравенство (4.5) доказано.

Покажем теперь, что для любого можно найти такое состояние что

Состояние строится так, чтобы оно было как можно ближе к равновесному состоянию системы с взаимодействием Ф. Выберем сначала а так, чтобы

Сдвиги области определяемые правилом (1.4) гл. 2, образуют разбиение решетки Для каждой конечной области , являющейся объединением

и для каждого подмножества положим

Плотности распределений определяют состояние которое в каждом из множеств совпадает с равновесным состоянием конечной системы, соответствующим плотности распределения Состояние периодично с периодом усредняя его по всем сдвигам мы получим инвариантное состояние

Легко проверить, что

Используя равенство (4.7), легко убедиться, что при достаточно больших а

Из оценок (4.14), (4.15) и (4.11) следует неравенство

из которого и вытекает утверждение (4.10). Теорема доказана.