Глава 6. ГРУППОВАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

Состояния физической системы можно описать с помощью положительных линейных функционалов, заданных на подходящей В-алгебре. Важным свойством равновесных состояний бесконечных систем в статистической механике является инвариантность этих состояний относительно некоторой группы (группы сдвигов решетки или пространства группы всех движений евклидова пространства и т. д.). В этой главе мы обсудим общие свойства состояний, инвариантных относительно некоторой группы автоморфизмов В-алгебры.

§ 6.1. ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

Состояния бесконечной системы в статистической механике обычно описываются корреляционными функциями в классическом случае и приведенными матрицами плотности — в квантовом (гл. 4). В классическом случае можно также использовать вероятностную меру на конфигурационном пространстве бесконечной системы (см. п. 5.6.5). Другой способ (§ 1.4) состоит в описании всех ограничений бесконечной системы на любую конечную область при помощи меры на пространстве конечных конфигураций, попавших в эту область (классический случай), или при помощи матрицы плотности в фоковском пространстве, соответствующем этой области.

Чтобы объединить эти различные способы описания, в этой главе мы примем точку зрения, согласно которой состоянием называется функционал усреднения (как это делалось в § 4.7). Таким образом, мы считаем, что наша физическая теория содержит некоторое количество наблюдаемых и состояние приписывает каждой из

них среднее значение Чтобы получить математически содержательное понятие, нужно наделить множество наблюдаемых некоторой структурой. Во всех случаях, с которыми мы столкнемся, наблюдаемые можно считать самосопряженными элементами некоторой В-алгебры 31 с единицей 1. Среднее значение продолжается с множества наблюдаемых до функционала на всей алгебре , и этот функционал оказывается положительным (т. е. если и , то и нормированным (т. е. Такие линейные функционалы принято называть состояниями на

В той части, которая нам понадобится, теорию В-алгебр можно рассматривать как некоммутативное обобщение классической теории меры на компактном пространстве. Хотя это обобщение не слишком трудно, но оно использует значительно более изысканные математические средства, чем встречавшиеся до сих пор в этой книге. В действительности читатель в этой главе столкнется и с некоторыми другими, «менее классическими», понятиями. Для его удобства все необходимые результаты собраны в приложении (без доказательств). Читателю, незнакомому с теорией В-алгебр, прежде чем двигаться дальше, стоит ознакомиться с содержанием добавления, относящихся к этой теории.

В-алгебры широко применялись для решения физических задач Сигалом [2], Хаагом и другими авторами. Возвратимся теперь к физической интерпретации В-алгебры как «алгебры, порожденной наблюдаемыми». Нужно сказать, что смысл самого понятия «наблюдаемой» в конкретной физической задаче не всегда очевиден и поэтому в выборе В-алгебры существует некоторый произвол. Кроме того, обычно не все состояния на алгебре представляют физический интерес. Поэтому в заданной физической задаче нужно не только выбрать В-алгебру , но и наложить на состояния

некоторые ограничения, вытекающие из физического смысла задачи. Отсюда видно, что математический объект, связываемый с физической задачей, почти всегда наделен более богатой структурой, чем просто структура В-алгебры.

Во многих физических задачах естественно возникает группа инвариантности. Мы будем считать, что эта группа действует как некоторая группа автоморфизмов алгебры . Часто оказывается естественным рассматривать только инвариантные состояния, т. е. состояния, не изменяющиеся под действием преобразований из этой группы. Другой тип условий состоит в требовании, чтобы ограничение на некоторую подалгебру алгебры имело норму 1. Условием такого типа мы воспользуемся, чтобы показать, что число частиц в ограниченной области существенно конечно.

Усреднение по ансамблю, описанное в гл. 1, определяет функционал усреднения, т. состояние на соответствующей В-алгебре; такое состояние описывает конечную систему, находящуюся в области . Естественно ожидать, что если то стремится (в некотором смысле) к состоянию описывающему бесконечную систему и инвариантному относительно соответствующей группы (сдвигов решетки или пространства или всех движений евклидова пространства Поэтому, конечно, важно уметь описывать ту -алгебру , на которой задает состояние (см. § 7.1). Важно также исследовать существование предела (см. § 7.3). Однако в этой главе мы сосредоточим свое внимание на следствиях, вытекающих из групповой инвариантности состояния не делая почти никаких дополнительных предположений.