Д.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ

Доказательства результатов, собранных в этом параграфе, можно найти в книге Бурбаки [1] и статье Шоке и Майера [1], которую мы в дальнейшем будем обозначать

Д.5.1. Результант меры. Пусть -локально выпуклое топологическое векторное пространство и К — выпуклое компактное подмножество в Пространство М, сопряженное к состоит из мер на через мы будем обозначать конус положительных мер, а через множество положительных нормированных мер на называется также множеством вероятностных мер на К, и его можно отождествить с множеством состояний на Для каждого мы обозначим через единичную меру меру Дирака), сосредоточенную в точке . (Заметим, что определяет чистое состояние на

Для каждой меры существует такой элемент что для всех

Этот элемент называют результантом меры Если служит результантом меры то меру можно слабо приблизить мерами с тем же результантом и конечным носителем т. е. Если является результантом меры — аффинная полунепрерывная сверху функция, заданная на К, то лемма 10).

Д.5.2. Максимальные меры, Мы будем использовать те же обозначения, что и прежде. Пусть — выпуклый конус выпуклых непрерывных функций, заданных на множестве К. В множестве можно ввести отношение порядка (см. Бишоп и де Лиув):

Если — аффинная непрерывная функция; тогда в частности, и меры

и имеют один и тот же результант. Если , то условия является результантом меры эквивалентны.

Мы будем говорить, что мера максимальна, если она максимальна в смысле введенного порядка Для всякой меры существует максимальная мера такая, что теорема 3). В частности, если то существует максимальная мера с результантом .

Д.5.3. Проблема единственности. Мы сохраним обозначения, принятые выше, и предположим для удобства, что множество К служит базой выпуклого конуса С с вершиной в (т. е. К является пересечением конуса С с замкнутой гиперплоскостью Я, не проходящей через 0 и пересекающей все образующие конуса С. Этого всегда можно достичь, заменив пространство на- и вложив К. в как . Конус С определяет отношение порядка в будем говорить, что К — симплекс, если конус С образует решетку относительно этого порядка (Шоке). Это определение не зависит от выбора конуса С.

Следующие условия эквивалентны ([Ш.-М.], теорема 1):

(а) К — симплекс;

(б) для всякого существует единственная максимальная мера (т. е. каждая точка является результантом единственной максимальной меры).

Если К — симплекс, то отображение аффинно (это неявно используется в доказательстве теоремы 11 в статье [Ш.-М.]).

Д.5.4. Максимальные меры и крайние точки. Обозначим через множество крайних точек компакта К? Теорема Крейна — Мильмана утверждает, что К совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества Если мера сосредоточена на

то мера максимальна ([Ш.-М.], предложение 15). И наоборот, если К метризуем и мера максимальна, то сосредоточена на ([Ш.-М.], лемма 13).

Поэтому если К метризуемо и то

В частности, каждая точка является результантом некоторой меры сосредоточенной на и если К — симплекс, то соответствие взаимно однозначно отображает К на множество всех вероятностных мер на К, сосредоточенных на В этом случае говорят, что каждой точке соответствует единственное интегральное представление на с помощью такой меры что для каждой непрерывной аффинной функции заданной на К.

Д.5.5. Пример: состояния на -алгебрах. Рассмотрим В-алгебру с единицей; в этом случае множество Е выпукло и слабо компактно. В соответствии с Д.3.9 и Д.5.3 каждое состояние на алгебре оказывается результантом единственной максимальной меры тогда и только тогда, когда алгебра абелева. В самом деле, если абелева и то мера сосредоточена на вне зависимости от метризуемости множества является мерой на спектре алгебры соответствующей при гельфандовском изоморфизме).