§ 7.2. ЭНТРОПИЯ

В этом параграфе мы определим понятие средней энтропии для тех инвариантных состояний, о которых

говорилось в предыдущем параграфе. Важность этого понятия связана с тем, что средняя энтропия равновесного состояния бесконечной системы оказывается совпадающей со значением удельной физической энтропии на единицу объема.

В самом деле, физическую энтропию можно истолковать как меру неопределенности, присутствующей в описании системы. Поэтому не удивительно, что, зная состояние, описывающее систему, мы можем найти и эту энтропию.

Понятие средней энтропии состоярия возникает не только в связи со статистической механикой. Например, в теории информации оно служит мерой количества информации, приходящейся на один символ сообщения. Используемый в эргодической теории инвариант Колмогорова — Синая также является средней энтропией.

7.2.1. Классические решетчатые системы. Мы исследуем случай решетчатого газа. Обозначим через семейство плотностей распределений, ассоциированное с состоянием Энтропией, соответствующей конечному подмножеству назовем величину

7.2.2. Предложение, Справедливы следующие неравенства:

(в) строгая полу аддитивность

Докажем их. Заметим, что поэтому (а) вытекает из (б). Пусть теперь ; тогда

А так как из (2.5) следует

Полагая , получим

Поэтому

Из выпуклости функции при следует, что

Подставим эту оценку в (2.8), полагая , и получим

Неравенства (2.6) и (2.10) доказывают утверждение

Используя еще раз оценку (2.9), получим

что и доказывает утверждение (в).

7.2.3. Предложение.

(а) Пусть состояние -инвариантно, тогда при в смысле Ван Хова существует предел

(б) Функционал рассматриваемый на множестве является аффинным и полунепрерывным сверху (см. Д. 1.4).

Полагая в получим свойство полуаддитивности

Используя это свойство, докажем частный случай утверждения (а) для Рассмотрим энтропию как функцию от Из гинвариантности энтропии и неравенства 2.12 следует, что энтропия

полуаддитивна по каждому переменному в отдельности. Отсюда в силу предложения 7.2.4, которое будет доказано ниже, следует

Кроме того, в силу утверждения 2.2 (а) имеем

Положим и обозначим через семейства плотностей распределений, ассоциированных с -инвариантным и состояниями соответственно. Используя выпуклость функции и возрастание мы получим

Деля первое и последнее выражения в (2.14) на и устремляя мы получим

Это доказывает аффинность функционала

При фиксированных число непрерывно зависит от состояния в слабой топологии на множестве поэтому энтропия тоже непрерывно

зависит от состояния Равенство (2.13) показывает, что функционал является нижней гранью непрерывных функционалов и поэтому полунепрерывен сверху. Это замечание завершает доказательство.

Для полноты мы докажем свойство полуаддитивных функций, использованное выше.

7.2.4. Предложение. Пусть вещественная функция определена для всех таких, что Пусть функция полуаддитивна по каждому из переменных в отдельности, т. е.

тогда

Положим

и пусть Ясно, что

По заданному выберем так, чтобы и пусть при всех где — неотрицательные целые числа и Из полуаддитивности функции следует, что (напомним, что

Поэтому

Из соотношений (2.18) и (2.19) и следует наше предложение для случая конечного С; случай исследуется аналогично.

7.2.5. Классические непрерывные системы. Обозначим через семейство плотностей распределений. Предположим, что меры абсолютно непрерывны по отношению к лебеговской мере. Это предположение позволяет нам записать

где обозначает лебеговскую меру (объем) области А). Энтропия, соответствующая ограниченной открытой области определяется равенством

7.2.6. Предложение. Выполняются следующие неравенства:

(в) строгая полуаддитивность

Доказательство всех этих неравенств в точности повторяет соответствующие рассуждения в случае классических решетчатых систем (предложение 7.2.2).

В следующих предложениях 7.2.7 и 7.2.8 определяется средняя энтропия для инвариантных состояний и исследуются ее свойства. Доказательства мы опускаем, так как они аналогичны соответствующим доказательствам для классических решетчатых систем (предложение 7.2.3), но технически более сложны

7.2.7. Предложение. Если семейство удовлетворяет условиям инвариантности (1.17), то при в смысле Ван Хова существует следующий предел:

Средняя энтропия определяется для каждого состояния по следующему правилу:

(а) , если состояние не задается системой плотностей распределений (т. е. если );

(б) , если состояние задается системой плотностей распределений но не все меры абсолютно непрерывны относительно лебеговской меры;

(в) в остальных случаях где определяется предложением 7.2.7.

7.2.8. Предложение. Функционал определенный на множестве аффинный и полунепрерывный сверху.

7.2.9. Квантовые решетчатые системы. Пусть — семейство матриц плотности, ассоциированных с состоянием Определим энтропию, соответствующую конечному подмножеству равенством

7.2.10. Пр едложение. Выполняются следующие неравенства:

(в) полуаддитивность

Оценка (а) доказывается просто, и мы оставляем доказательство читателю. Пусть теперь тогда

При этом являются частичными следами матрицы плотности по подпространствам соответственно. Поэтому свойство (в) вытекает из предложения 2.5.6. И наконец, оценка (б) очевидно следует из (а) и (в).

7.2.11. Предложение.

(а) Пусть состояние -инвариантно, тогда существует предел

и

(б) Функционал определенный на множестве оффшный и полунепрерывный сверху.

Доказательство этих утверждений по существу повторяет соответствующие доказательства для

классических решетчатых систем (предложение 7.2.3). Отметим только, что оценку (2.14) следует заменить на следующую:

При первом переходе мы воспользовались предложением 2.5.7, а при втором — предложением 2.5.8.

7.2.12. Интегральное представление средней энтропии. Упомянем без доказательства, что во всех рассмотренных случаях среднюю энтропию инвариантного состояния можно получить усреднением энтропии чистых состояний, на которые раскладывается состояние Точнее говоря, если через обозначить меру, введенную в теореме 6.4.1, то

7.2.13. Квантовые непрерывные системы. Если обозначить через семейство плотностей распределений, описывающее -инвариантное состояние системы бозонов или фермионов, то можно определить энтропию

Можно показать, что и выполняется свойство полуаддитивности (2.29). Однако до сих пор нет удовлетворительного доказательства того, что стремится к пределу при