Глава 4. СТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЛОТНОСТЯХ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Подробную информацию о разреженных системах можно получить, используя разложения изучаемых величин в ряды по степеням плотности или активности. В этой главе мы докажем сходимость подобных разложений. Наше доказательство будет основано на изучении корреляционных функций. Нужнб заметить, что корреляционные функции позволяют описать состояние бесконечной системы и поэтому исследование этих функций само по себе представляет большой интерес.

§ 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

По мере того как активность или плотность стремятся к нулю, поведение соответствующей системы частиц приближается к поведению системы без взаимодействия. Поэтому естественно пытаться получить разложения интересующих нас величин по степеням параметров или Такие разложения хорошо известны: это так называемое вириальное разложение (разложение давления по степеням плотности и разложения Майера (разложения давления и плотности по степеням активности Существуют правила, позволяющие последовательно вычислять коэффициенты этих разложений, подсчитывая вклады от различных диаграмм. Однако до недавнего времени сходимость этих разложений оставалась недоказанной.

4.1.1. Корреляционные функции. В этой главе нам будет удобно обозначать символом набор в котором Напомним, что большой

(конфигурационный) канонический ансамбль определяется заданием меры на которая на каждом сводится к

Общая масса этой меры называется большой статистической суммой

- частичная корреляционная функция определяется как плотность вероятности (по лебеговской мере) нахождения различных частиц в точках Используя определение (1.1), получим

Естественно ожидать, что в термодинамическом пределе, когда сосуд некоторым подходящим образом, корреляционные функции стремятся к пределу (предельным корреляционным функциям).

В этой главе мы почти всюду ограничиваемся случаем парного взаимодействия. Мы предполагаем, что потенциал Ф этого парного взаимодействия удовлетворяет условию устойчивости 3.2.1. Вместо обычного условия убывания нам потребуется некоторое более сильное убывание потенциала бесконечности.

4.1.2. Определение. Назовем потенциал Ф регулярным, если он ограничен снизу и

при некотором (а следовательно, при всех

Если потенциал Ф устойчив, то он автоматически ограничен снизу числом Если Ф ограничен снизу, то условие (1.4) эквивалентно требованию абсолютной интегрируемости потенциала Ф вне некоторого множества конечной лебеговской меры (в качестве этого множества можно взять отсюда видно, что условие (1.4) выполняется для всех если оно выполняется хотя бы для одного