Д.4. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА

Теорию алгебр фон Неймана можно найти в книге Ж. Диксмье [1]. Удобный обзор результатов содержится в добавлении А к книге Д].

Д.4.1. Коммутант. Рассмотрим подмножество М в его коммутантом М называется

Если М состоит только из операторов, кратных единичному, то множество М называется неприводимым. Коммутант множества М называется вторым коммутантом (или бикоммутантом) множества М.

Д.4.2. Алгебры фон Неймана. Симметричная подалгебра алгебры где — комплексное гильбертово пространство, называется алгеброй фон Неймана, если она удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

(а) содержит единичный оператор 1 (действующий на и является слабо замкнутой подалгеброй в ;

(б) алгебра содержит 1 и сильно замкнута в ;

(в) совпадает со своим бикоммутантом

В частности, всякая алгебра фон Неймана является

С-алгеброй с единицей.

Если М — симметричное подмножество в то алгебра М является алгеброй фон Неймана, а М — наименьшей алгеброй фон Неймана, содержащей множество М (т. е. алгеброй фон Неймана, порожденной множеством М).

Д.4.3. Ограничение на подпространство в Если самосопряженная подалгебра слабо (= сильно) замкнута, то содержит наибольший проектор Р, такой, что для всех операторов В из

Ограничение подалгебры на область значений оператора Р является алгеброй фон Неймана.

Пусть — алгебра фон Неймана. Если проектор то ограничение алгебры на область значений оператора Р является алгеброй фон Неймана Если проектор то ограничение алгебры на образ оператора Р является алгеброй фон Неймана .

Д.4.4. Циклические и разделяющие векторы. Пусть М — симметричное подмножество в Говорят, что вектор Ф является циклическим для М, если множество плотно в §, и что вектор Ф является разделяющим для множества М, если из условий и следует, что Вектор Ф, циклический для множества М, является разделяющим для множества М. И наоборот, вектор, разделяющий для М, является циклическим для М".

Д.4.5. Факторы и абелевы алгебры фон Неймана. Алгебра фон Неймана называется фактором, если пересечение состоит только из операторов, кратных единичному. Алгебра фон Неймана абелева тогда и только тогда, когда Если то называется максимальной абелевой алгеброй. Если абелева алгебра фон Неймана обладает циклическим вектором, то она максимальна.

Д.4.6. Теорема Капланского о плотности. Пусть и — самосопряженные подалгебры в (соответственно — подпространство самосопряженных элементов в (соответственно в Если и алгебра плотна в в сильной топологии, то единичный шар (соответственно сильно плотен в единичном шаре алгебры (соответственно .