§ 6.5. ЧИСТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФАЗЫ КАК ЭРГОДИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ

Предположим, что алгебра квазилокальна (см. 6.2.4), так что группа совпадает с или с и алгебра является -абелевой. Рассмотрим -инвариантное состояние на алгебре , которое мы будем физически интерпретировать как равновесное состояние

бесконечной системы. Мы покажем, что состояние можно считать чистой термодинамической фазой тогда и только тогда, когда оно G-эргодично.

Группы абелевы, и потому на них существует инвариантная мера. Легко построить М-сети для этих групп: в качестве возьмем поделенную на характеристическую функцию куба со стороной а, а в качестве множества индексов а возьмем натуральный ряд.

6.5.1. Лемма. Состояние эргодично тогда и только тогда, когда для любого самосопряженного элемента выполняется равенство

где

а отображение предполагается непрерывным.

Эта лемма является просто переформулировкой предложения Заметим еще, что равенство (5.1) можно переписать в виде

Вернемся теперь к интерпретации самосопряженных элементов алгебры 91 как физических наблюдаемых. Наблюдаемая А может, вообще говоря, флуктуировать, т. е. мера, определяемая состоянием на спектре алгебры 91, не сосредоточена в одной точке. Однако равенство (5.3) означает, что при больших значениях среднее колеблется очень слабо, иными словами, если состояние эргодично, то наблюдаемая, усредненная по достаточно большой области становится почти константой. Тот факт, что среднее значение

наблюдаемой (по области) стремится к постоянной, можно интерпретировать так, что рассматриваемое состояние представляет собой «чистую термодинамическую фазу». Однофазные состояния по существу характеризуются тем, что все макроскопические характеристики (т. е. средние по большой пространственной области) не колеблются. И наоборот, для смесей фаз (например, воды и льда) характерны колебания некоторых макроскопических характеристик (например, плотности). Заметим, что момент распределения пространственного усреднения наблюдаемой А равен

Каждое смешанное состояние как это ясно из физических соображений, должно единственным образом разлагаться на чистые фазы, т. е. для должно существовать единственное интегральное представление на множестве эргодических состояний. Существование этого интегрального представления было рассмотрено в § 6.4; оно задается мерой на определяемой равенством (см. теорему 6.4.1)

Второе равенство вытекает из предложения 6.2.14 и сводит разложение произвольного состояния на чистые фазы к нахождению моментов (5.4).

До сих пор в этом параграфе мы предполагали, что группой симметрии служит (непрерывные системы) или (решетчатые системы). В физических приложениях группа часто оказывается шире; например, в качестве естественно рассматривать группу всех движений евклидова пространства. Обобщая предыдущие рассуждения, естественно называть состояние «чистой фазой», если оно -эргодично.

6.5.2. Спонтанные нарушения симметрии. Пусть состояние представляет собой чистую

термодинамическую фазу, соответствующую группе симметрии Пусть подгруппа такова, что алгебра 91 является Я-абелевой. Если то состояние можно разложить по Я-эргодическим состояниям, которые обладают более сильным групповым свойством, чем исходное состояние Эта ситуация типична для физики и известна под названием «спонтанного нарушения симметрии»: состояние инвариантное относительно большой группы преобразований и обладающее «дальним порядком» (т. е. слабым групповым свойством), разлагается по состояниям с меньшей симметрией, но лучшим групповым свойством. В этой ситуации говорят, что симметрия, соответствующая группе нарушена.

Вот несколько примеров.

В квантовых системах может нарушаться даже симметрия, соответствующая группе всех преобразований, сохраняющих число частиц (например, в гелии

К сожалению, до сих пор ни про одно равновесное состояние реальной системы не доказано, что оно

является кристаллом (в смысле приведенной таблицы). Это обстоятельство в настоящее время снижает интерес к детальному разбору спонтанного нарушения симметрии в статистической физике.

С математической точки зрения интересно выяснить, существует ли естественный способ выбора нетривиальной подгруппы Н в группе В частности, этот вопрос естественно рассмотреть для Положим

и пусть Можно показать, что множество является подгруппой в Могут представиться три различных случая:

Е1. : состояние не допускает естественного разложения, эта ситуация соответствует слабому перемешиванию в эргодической теории.

Е2. — замкнутая подгруппа в существует естественный выбор подгруппы и естественное разложение по Я-эргодическим состояниям.

Е3. Подгруппа не замкнута: существуют разложения, связанные с разными подгруппами, но нет естественного наилучшего выбора подгруппы Н.