Д.3. СОСТОЯНИЯ НА В-АЛГЕБРАХ

Д.3.1. Положительные элементы Элемент А, принадлежащий В-алгебре , называется положительным если удовлетворяется одно из следующих эквивалентных условий:

для некоторого

Таким образом, в вводится отношение (частичного) порядка и множество оказывается замкнутым выпуклым конусом в .

Д.3.2. Существование аппроксимативной единицы.

Каждая обладает возрастающей аппроксимативной единицей в следующем смысле:

а) множество индексов упорядочено так, что для любых и найдется

Если алгебра сепарабельна (т. е. содержит счетное всюду плотное подмножество), то в качестве множества

индексов можно взять множество неотрицательных целых чисел.

Д.3.3. Состояния. Непрерывный линейный функционал заданный на алгебре , называется состоянием, если он положителен и его норма равна 1. Если в алгебре существует единица, то И наоборот, пусть — положительный линейный функционал на содержащей единицу; если то —состояние (см. [Д], 2.1). Если семейство является аппроксимативной единицей алгебры и —состояние, то (см. [Д], 2.1.5 (v)). Для всякой самосопряженной непрерывной линейной формы на алгебре существуют такие (однозначно определенные) непрерывные положительные линейные формы и что (см. [Д], 12.3.4).

Множество Е всех состояний является выпуклым подмножеством единичного шара в сопряженном пространстве 91. Если в алгебре есть единица, то множество Е является компактом в слабой топологии, поскольку оно совпадает с пересечением единичного шара (который слабо компактен, по теореме Алаоглу — и плоскости

Состояние алгебры называется чистым, если оно является крайней точкой множества Е, т. е. если оно не может быть разложено в сумму где Мы обозначим через множество всех чистых состояний (т. е. крайних точек множества Е). Если в алгебре есть единица, то, применяя теорему Крейна — Мильмана 2) к выпуклому (слабо) компактному множеству Е, мы видим, что конечные линейные комбинации чистых состояний (слабо) плотны в Е.

Если , является -подалгеброй в , то каждое состояние на , продолжается до состояния на

алгебре ; если состояние чистое, то и его продолжение может быть выбрано чистым. Всякое состояние, заданное на замкнутом двустороннем идеале алгебры , однозначно продолжается до состояния, заданного на алгебре и 2.11.7). В частности, состояние на однозначно продолжается на алгебру , полученную из присоединением единицы.

Д.3.4. Представления. Представлением называется пара , состоящая из комплексного гильбертова пространства и морфизма

Представление называется существенным (или невырожденным), если из того, что для некоторого при всех следует, что

Представление называется неприводимым, если выполняется одно из эквивалентных условий

а) если при всех то оператор С пропорционален единичному оператору, действующему в (топологическая неприводимость),

б) единственными подпространствами в инвариантными относительно , являются (алгебраическая неприводимость).

Циклическим представлением алгебры называют тройку где определяют представление, а вектор таков, что и множество плотно в .

Д.3.5. Конструкция Гельфанда — Сигала Если — циклическое представление В-алгебры , то отображение определяет состояние на алгебре . И наоборот, если — состояние на алгебре , то существует циклическое представление такое, что

Сейчас мы кратко опишем это циклическое представление (конструкцию Гельфанда — Сигала).

Предположим, что в алгебре есть единица (в противном случае присоединим ее к ). Множество

является левым идеалом в алгебре . По отношению к скалярному произведению, определяемому состоянием фактор-алгебра оказывается хаусдорфовым предгильбертовым пространством. Обозначим через его пополнение до гильбертова пространства. Если то отображение определяет отображение (поскольку — левый идеал). Легко показать, что его норма не превосходит поэтому оно однозначно продолжается по непрерывности до отображения . Легко проверить, что является морфизмом Если обозначает класс в соответствующий 1, то (3.1) выполнено.

Конструкция Гельфанда — Сигала единственна в том смысле, что любое циклическое представление , такое, что унитарно эквивалентно представлению т. е. существует изометрический оператор V: такой, что

Если — состояние на алгебре и — положительная линейная форма на , такая, что то ([Д], 2.5.1) существует единственный самосопряженный оператор Т на коммутирующий с и такой, что

Д.3.6. Универсальные представления и обертывающие алгебры фон Неймана. Рассмотрим Пусть Е обозначает множество всех состояний на , а — представление алгебры , такое, что

Такое представление называется универсальным представлением алгебры . Морфизм я: является изоморфизмом алгебры на С-алгебру (см. Это показывает, в частности, что каждая В-алгебра изоморфна некоторой С-алгебре.

Обозначим через слабое замыкание алгебры Алгебра называется обертывающей алгеброй фон Неймана алгебры 21. Для каждого непрерывный линейный функционал на алгебре 21) существует единственный слабо непрерывный линейный функционал на алгебре такой, что Это равенство сопоставляет каждому элементу С из алгебры непрерывный линейный функционал на Можно показать, что это отображение устанавливает изоморфизм между алгеброй и пространством — вторым сопряженным к алгебре 21, рассматриваемой как банахово пространство

Неприводимые представления. Пусть — состояние на алгебре — соответствующее циклическое представление алгебры . Следующие условия эквивалентны (см. [Д], 2.5.4 и 2.9.5):

— чистое состояние;

б) представление неприводимо;

в) левый идеал является максимальным регулярным идеалом (регулярность означает, что существует такой элемент что для любого разность если — алгебра с единицей, то любой левый идеал регулярен).

Если эти условия выполнены, то рассматриваемой с обычной нормой факторпространства

Д.3.8. Теорема Кейдисона о транзитивности Пусть — неприводимое представление В-алгебры . Если и оператор таков, что

то найдется элемент такой, что

Если оператор В самосопряжен, то и можно выбрать самосопряженным; если — алгебра с единицей,

унитарный оператор, то и в качестве А можно выбрать унитарный элемент (т. е.

В частности, если то — циклическое представление.

Пусть — чистое состояние на алгебре — соответствующее циклическое представление алгебры . Если то существуют такие элементы что

Д.3.9. Коммутативные В-алгебры и гельфандовский изоморфизм. Если В-алгебра абелева, то между следующими множествами существуют естественные взаимно однозначные соответствия:

а) — множество чистых состояний;

б) множество ненулевых гомоморфизмов алгебры в С;

в) множество максимальных регулярных идеалов алгебры (если содержит единицу, то это множество совпадает с множеством всех максимальных идеалов).

Множество снабженное слабой топологией, называют спектром алгебры ; оно представляет собой локально компактное пространство. Для каждого элемента обозначим через функцию на определяемую равенством это правило определяет (гельфандовский) изоморфизм между В-алгеброй и В-алгеброй непрерывных комплекснозначных функций, заданных на и стремящихся к нулю на бесконечности.

Спектр является компактом тогда и только тогда, когда в алгебре есть единица. Изоморфизм Гельфанда устанавливает взаимно однозначное соответствие между состояниями на алгебре и вероятностными мерами на В частности, пусть обозначает соответствующую меру на — циклическое представление Гельфанда — Сигала. Тогда

Пусть — пространство самосопряженных линейных форм на В-алгебре ; оказывается, что образует решетку относительно естественного порядка в тогда и только тогда, когда алгебра абелева