§ 2.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ДЛЯ КВАНТОВЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ

2.3.1. Предложение. Пусть потенциал Ф имеет конечный радиус действия соответствующее ему конечное подмножество пространства Пусть также — число точек таких, что Тогда

Из формулы (2.4) имеем

где означает суммирование по тем для которых одновременно выполняется Заметим, что только если , т. е. если откуда следует последнее неравенство.

Воспользуемся леммой 2.2.1, где полагаем в пространстве Тогда

что и требовалось доказать.

2.3.2. Предложение. Если то существует конечный предел

при в смысле Ван Хова.

Используя обозначения § 2.1, напишем , где через обозначено объединение сдвинутых множеств содержащихся в . Пусть где — сдвиги из которых состоит Г, и пусть

так что Из предложения 2.3.1 следует, что

Суммируя по получаем

По определению, меньше, чем число точек таких, что множество пересекает как так и его дополнение. Поскольку точки «близки к границе» множества для любого можно выбрать а, столь большое, что

Подставив это выражение в (3.4), получим

Из формулы (2.17) имеем

С другой стороны, так как в смысле Ван Хова можно допустить, что

Подставляя (3.6) и (3.7) в формулу (3.5), получаем

при достаточно больших и а, откуда и следует справедливость нашего утверждения.

2.3.3. Теорема. Если то существует конечный предел

при в смысле Ван Хова и, кроме того,

а) если Ф, то

б) функция выпукла на пространстве

Из (2.16) следует, что функции равностепенно непрерывны; так как, согласно предложению 2.3.2, они сходятся на всюду плотном множестве то они сходятся и всюду на откуда вытекает справедливость (3.8). Остальные свойства следуют из предложения 2.2.2.

2.3.4. Периодические ящики. Часто бывает удобно рассматривать системы в периодическом ящике, полученном путем «склеивания» противоположных сторон области Пусть — факторгруппа группы по подгруппе Если то через обозначим его представитель в Определим для каждого унитарное отображение следующим образом:

Определим также унитарное преобразование пространства в виде

Пусть теперь Ф имеет конечный радиус действия если а достаточно велико и то следующее определение однозначно задает

если уже определен пунктом (а);

(в) в остальных случаях.

Для всех а имеем

Можно определить выражениями, аналогичными (2.4), (2.12) и (2.13). По аналогии с пред ложением (2.3.2) легко показать, что