§ 3.2. УСТОЙЧИВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

За исключением нижеследующего определения, этот параграф при первом чтении можно опустить.

3.2.1. Определение.

Взаимодействие называется устойчивым, если существует такое, что

Ясно, что условие (2.1) выполняется, если для всех (положительные взаимодействия). Сумма двух устойчивых взаимодействий является устойчивым взаимодействием. Для классических решетчатых систем, рассмотренных в § 2.4, устойчивость автоматически следует из формулы (4.8) гл. 2.

Ниже мы дадим полезный критерий устойчивости парных взаимодействий. Но прежде чем это сделать, мы хотим, чтобы читатель убедился, что взаимодействие, не обладающее устойчивостью, может привести к нарушению термодинамического поведения (катастрофическое взаимодействие). Пусть А — ограниченное, измеримое по Лебегу подмножество пространства с объемом (лебеговой мерой) Статистическая сумма соответствующая большому каноническому ансамблю и называемая большой статистической суммой (см. формулы (2.9) и (2.10) гл. 1), задается выражением

где Устойчивость влечет сходимость большой статистической суммы, как показывает следующая оценка:

С другой стороны, если ряд (2.2) расходится, то это означает нарушение термодинамического поведения системы. Мы покажем сейчас, что для большого класса парных взаимодействий ряд (2.2) расходится в том и только том случае, если условие устойчивости (2.1) нарушено.

3.2.2. Предложение.

Пусть Ф — действительная полунепрерывная сверху функция на такая, что Определим

Тогда следующие условия эквивалентны:

(а) неравенство

выполняется для всех и всех ;

(б) существует такое, что

(в) следующий ряд сходится для всех ограниченных и измеримых по Лебегу множеств

Тот факт, что при следует из тождества (заметим, что из (а) следует

Из неравенства (2.3) следует, что Покажем теперь, что если (а) не выполняется, то не выполняется

и (в). Действительно, пусть таковы, что

Функция полунепрерывна сверху на и принимает значение в точке Существует такое, что при выполняется

Пусть и

где

При из (2.10) имеем

Отсюда если — объем -мерной сферы радиуса 8, то

Доказательство окончено.

3.2.3. Катастрофические потенциалы.

Катастрофическое поведение системы, возникающее в условиях предложения 3.2.2 при нарушении устойчивости, происходит оттого, что конфигурациям, при которых в ограниченную область пространства собирается много частиц, приписывается большой вес.

С помощью п. 3.2.2 (a) при можно проверить, что отрицательный парный потенциал, такой, как на рис. 3, является катастрофическим.

Рис. 3. Отрицательный парный потенциал (прямоугольник — область чистого притяжения).

Рис. 4. Катастрофический парный потенциал.

Потенциал, показанный на рис. 4, при выглядит благоприятнее но мы покажем, что тем не менее он тоже катастрофичен. Напомним, что в гранецентрированной кубической трехмерной решетке каждый узел имеет 12 ближайших соседей. Пусть — расстояние между соседними узлами, и пусть — все узлы решетки, расположенные внутри сферы, столь большой, что если обозначить через число пар соседних узлов

среди то Тогда

и, следовательно, согласно предложению 3.2.2, потенциал Ф катастрофичен.

Другие примеры катастрофических парных потенциалов можно получить из следующего результата.

3.2.4. Предложение.

Пусть парный потенциал Ф абсолютно интегрируем. Если

то можно выбрать ограниченную область , такую, что расходится.

Из выпуклости экспоненциальной функции следует, что

Из (2.13) следует, что если выбрать в качестве Л достаточно большой куб, то

следовательно,

Мы укажем теперь классы парных взаимодействий, для которых условие устойчивости выполняется.

3.2.5. Парные взаимодействия с твердой сердцевиной.

Пусть Ф — парный потенциал с твердой сердцевиной:

Предположим далее, что

для всех и всех расположений таких, что для любой пары . В этом случае условие устойчивости удовлетворяется, так как

Условие (2.14) выполнено, в частности, если существует положительная убывающая (ограниченная) функция на такая, что

и

3.2.6. Положительно определенные парные потенциалы.

Комплексная непрерывная функция на называется положительно определенной функцией, если при всех удовлетворяется неравенство

Известно (теорема Бохнера), что функция является положительно определенной функцией в том и только том случае, если она служит преобразованием Фурье положительной меры с конечной общей массой на . В частности, преобразование Фурье положительной интегрируемой функции есть положительно определенная функция. Если положительно определенная функция

действительна, то , выбирая в (2.18) значения получаем

т. е. в точности условие (а) предложения 3.2.2. Следовательно, является устойчивым парным потенциалом.

3.2.7. Предложение. Если парный потенциал Ф можно представить в виде

где

(а) — положителен,

(б) является действительной непрерывной положительно определенной функцией,

то потенциал Ф устойчив.

Этот критерий, как мы увидим позднее, очень эффективен.

3.2.8. Предложение. Пусть и пусть — положительные убывающие функции на соответственно, такие, что

Если парный потенциал Ф ограничен снизу и удовлетворяет условиям

то потенциал Ф устойчив.

Мы укажем только идею доказательства, которая состоит в построении для Ф положительно определенной миноранты и в использовании затем предложения 3.2.7.

(а) Построим ограниченную функцию такую, что

(б) Регуляризуя функцию получим ограничен функцию такую, что

и преобразование Фурье функции на бесконечности быстро стремится к нулю, так что для некоторого

(в) Пусть функция такова, что ее преобразование Фурье равно и пусть , где — положительно определенная функция класса с компактным носителем. Преобразование Фурье функции является результатом свертки следовательно, существует такое, что

Функция положительна и имеет неинтегрируемую особенность в начале координат. С другой стороны, функция ограничена и обладает компактным носителем; следовательно, можно подобрать такие, что

Используя (2.25) и (2.23), получаем для преобразования Фурье функции

Следовательно, функция является положительно определенной минорантой для Ф.

3.2.9. Сверхустойчивые потенциалы.

Мы упомянем без доказательства о некоторых усовершенствованиях условия устойчивости (2.1). Пусть где Ф — устойчивый парный потенциал, а непрерывная функция, причем Тогда существуют постоянные такие, что, если область Л является кубом достаточно большого объема V и то

Если мы положим теперь где то неравенство (2.27) можно заменить неравенством

Удельная потенциальная энергия на одну частицу при достаточно больших плотностях возрастает с увеличением плотности по линейному закону (2.27) или быстрее (2.28). Можно показать, что потенциалы, удовлетворяющие условиям предложения 3.2.8, сверхустойчивы.

3.2.10. Класс потенциалов Ленарда — Джонса.

Мы говорим, что потенциал Ф принадлежит классу потенциалов Ленарда — Джонса, если он ограничен снизу и удовлетворяет условиям (2.21) и (2.22), где Устойчивость и быстрое убывание выполняются автоматически, так же как условие (2.28).

3.2.11. Системы частиц нескольких типов.

Результаты, полученные для частиц одного типа, распространяются на случай систем частиц нескольких типов. Особый интерес представляет случай распределения электрических зарядов пространстве энергия Кулоновского электростатического) взаимодействия между ними ограничена снизу величиной где собственная энергия зарядов

Заметим, что системы классических точечных зарядов не ведут себя термодинамически; конфигурационный интеграл для двух частиц противоположного знака расходится