Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4.2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙКорреляционные функции удовлетворяют различным системам линейных интегральных уравнений (в частности, уравнениям Кирквуда—Зальцбурга и Майера — Монтролла). Эти интегральные уравнения являются мощным средством изучения корреляционных функций при малых значениях активности. 4.2.1. Уравнения Кирквуда—Зальцбурга. Обозначим через
Предположим, что потенциал парного взаимодействия Ф устойчив и регулярен. Положим
и
где
Введем следующие обозначения:
Тогда
Положим
Подставляя (2.8) в (2.5), получим
где
Перемену порядка суммирования и интегрирования можно обосновать, используя условие устойчивости. Если в формуле (2.11) воспользоваться определением (2.5) корреляционной функции
и
Уравнения (2.12) и (2.13) называются уравнениями Кирквуда — Зальцбурга 4.2.2. Банаховы пространства
Из условия устойчивости (2.5) следует, что
так что Введем линейный оператор
Оператор
Из условия устойчивости следует, что потенциал Ф ограничен снизу числом —
Итак, оператор К отображает пространство
в котором Мы покажем, что уравнение (2.20) можно рассматривать в одном из пространств рассмотреть равенства, в которых роль
Отсюда следует, что для каждого набора
Условие (2.22) позволяет построить оператор
При этом оценка (2.19) заменится на
Поэтому оператор
Кроме уравнения (2.23), рассмотрим также уравнение
В уравнениях (2.23) и (2.26) параметр
Поэтому каждое из уравнений (2.23) и (2.26) имеет единственное решение в пространстве
и
если только выражение (2.27) не превосходит 1, т. е. если
Последнее неравенство может быть удовлетворено, если (возьмем
Описанная ситуация изображена на рис. 11.
Рис. 11. Неравенство Из оценок (2.15) и единственности решения уравнения (2.28) следует, что это решение служит аналитическим продолжением корреляционных функций на множество комплексных значений активности Для вещественных положительных значений активности из определений (2.4) и (2.5) следует, что
Из выражения (2.28) следует, что функция, стоящая в левой части (2.32), продолжается до аналитической функции параметра 4.2.3. Теорема. Пусть Ф — устойчивый регулярный потенциал парного взаимодействия, и пусть комплексное число
Тогда большая статистическая сумма
и
если параметры Последовательность Нам осталось доказать только оценку (2.35). Как мы сейчас убедимся, она получается почленным сравнением степенных рядов для Пусть
Пусть Из определений (1.4) и (2.9) и неравенств (2.36) следует, что
где мы обозначили
Поэтому из определений оператора К (формулы (2.17) и (2.18)) и оператора
или, переходя к операторной норме,
где
Обозначим через
и
из которых следует, что
Поэтому
Заменяя в последней оценке 6 на
справедливое при
Из оценок (2.42), (2.43) и (2.44) получаем
Правая часть неравенства (2.45) стремится к нулю, когда
и
Используя уравнения (2.28) и (2.29), окончательно получим, что
4.2.4. Дополнения к теореме 4.2.3. (а) Если К — компактное подмножество области, выделяемое неравенством (2.33) и (б) Если функция 4.2.5. Уравнения Майера — Монтролла. Положим
Можно показать, что
Эти интегральные уравнения называются уравнениями Майера — Монтролла; они образуют неоднородную систему линейных уравнений относительно корреляционных функций 4.2.6. Решетчатые системы. Рассмотрим классическую решетчатую систему (в смысле 2.4). Предположим, что
Тот факт, что
Теперь, считая гл. 2) и регулярности парного потенциала. Для доказательства последнего утверждения заметим, что
Здесь мы воспользовались сверхаддитивностью функции 4.2.3 для данного случая. Укажем другой способ изучения решетчатых систем, применимый не только к системам с парным взаимодействием. Этот подход аналогичен подходу, основанному на уравнениях Кирквуда — Зальцбурга, но существенно использует тот факт, что две различные частицы не могут занимать одну ячейку. Потенциал взаимодействия Ф является функцией от конечных подмножеств решетки
Это условие более обременительно, чем условие
Пусть X — конечное подмножество решетки точки из X, например, первой в смысле лексикографического порядка
В определении (2.62) сумма
и
Из предположения (2.56) следует неравенство
Отсюда, учитывая сверхаддитивность функции
и поэтому
Пусть
и поэтому
4.2.7. Теорема. Пусть Е — банахово пространство ограниченных комплекснозначных функций, заданных на непустых подмножествах решетки
где
мы получим, что
при условии, что
В круге на плоскости
где
если
принадлежащим пространству Е. Вектор Докажем сначала неравенство (2.71). Заметим, что если а — вещественное число, то кривая
представляет собой окружность, симметричную относительно вещественной оси. Поэтому, учитывая оценку (2.67), достаточно доказать, что
для положительных вещественных значений Уравнение (2.73) в точности совпадает с (2.68). Остальные утверждения доказываются точно так же, как при доказательстве теоремы 4.2.3.
|
1 |
Оглавление
|