§ 4.2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Корреляционные функции удовлетворяют различным системам линейных интегральных уравнений (в частности, уравнениям Кирквуда—Зальцбурга и Майера — Монтролла). Эти интегральные уравнения являются мощным средством изучения корреляционных функций при малых значениях активности.

4.2.1. Уравнения Кирквуда—Зальцбурга. Обозначим через характеристическую функцию ограниченного, измеримого по Лебегу множества Л с Положим

Предположим, что потенциал парного взаимодействия Ф устойчив и регулярен. Положим

и

где Формулы (1.2) и (1.3) можно теперь переписать в виде

Введем следующие обозначения:

Тогда

Положим и введем ядро

Подставляя (2.8) в (2.5), получим

где

Перемену порядка суммирования и интегрирования можно обосновать, используя условие устойчивости.

Если в формуле (2.11) воспользоваться определением (2.5) корреляционной функции то получится, что

и

Уравнения (2.12) и (2.13) называются уравнениями Кирквуда — Зальцбурга Они образуют неоднородную систему линейных уравнений относительно корреляционных функций при

4.2.2. Банаховы пространства Пусть Обозначим через пространство последовательностей измеримых по Лебегу комплекснозначных функций заданных на пространстве и таких, что

Из условия устойчивости (2.5) следует, что

так что Перепишем теперь уравнения Кирквуда—Зальцбурга как уравнения относительно в пространстве Е.

Введем линейный оператор в Е полагая

Оператор идемпотентен, и его норма равна 1. Определим оператор К равенствами

Из условия устойчивости следует, что потенциал Ф ограничен снизу числом — Отсюда, используя условие регулярности 4.1.2, получим оценку

Итак, оператор К отображает пространство в Пользуясь введенными обозначениями и сформулированным результатом, мы можем переписать равенства (2.12) и (2.13) как уравнения в пространстве

в котором при

Мы покажем, что уравнение (2.20) можно рассматривать в одном из пространств (а не только в Для этого мы должны избавиться от множителя который возникает в оценке (2.19) из-за множителя участвующего в определении (2.18). Переменная играет в равенстве (2.18) особую роль, но мы можем переставить переменные и

рассмотреть равенства, в которых роль играет любая из переменных заменяется соответственно на . Заметим теперь, что

Отсюда следует, что для каждого набора можно выбрать значение так, чтобы

Условие (2.22) позволяет построить оператор в пространстве который для каждого набора переводит функцию , а подстановка выбрана так, что Поскольку корреляционные функции симметричны по всем своим т. аргументам, то уравнение (2.20) можно заменить на следующее;

При этом оценка (2.19) заменится на

Поэтому оператор отображает пространство в себя и его норма удовлетворяет оценке

Кроме уравнения (2.23), рассмотрим также уравнение

В уравнениях (2.23) и (2.26) параметр может принимать и комплексные значения. Ввиду оценки (2.24) норма линейных операторов, стоящих в правых частях этих уравнений, не превосходит числа

Поэтому каждое из уравнений (2.23) и (2.26) имеет единственное решение в пространстве

и

если только выражение (2.27) не превосходит 1, т. е. если

Последнее неравенство может быть удовлетворено, если (возьмем

Описанная ситуация изображена на рис. 11.

Рис. 11. Неравенство выполняется в заштрихованной области.

Из оценок (2.15) и единственности решения уравнения (2.28) следует, что это решение служит аналитическим продолжением корреляционных функций на множество комплексных значений активности , удовлетворяющих условию (2.31).

Для вещественных положительных значений активности из определений (2.4) и (2.5) следует, что

Из выражения (2.28) следует, что функция, стоящая в левой части (2.32), продолжается до аналитической функции параметра внутри круга (2.31). Это показывает, что внутри этого круга большая статистическая сумма которая является аналитической функцией от не обращается в нуль. Таким образом, определение (2.5) корреляционных функций имеет смысл для всех комплексных лежащих в круге (2.31), и при аналитическом продолжении оно приводит к той же функции, что и уравнение (2.28).

4.2.3. Теорема. Пусть Ф — устойчивый регулярный потенциал парного взаимодействия, и пусть комплексное число удовлетворяет условию

Тогда большая статистическая сумма не обращается в нуль в круге (2.33). Если определить корреляционные функции равенством (2.5) для всех из круга (2.33), то существуют предельные корреляционные функции и такая положительная убывающая функция что

и

если параметры удовлетворяют условию (2.30), а к обозначает наименьшее расстояние от точек до границы сосуда .

Последовательность функций и последовательность функций являются единственными решениями уравнений (2.23) и (2.26) соответственно в пространстве если только удовлетворяет условию (2.30) (в частности, если последовательности аналитически зависят от

Нам осталось доказать только оценку (2.35). Как мы сейчас убедимся, она получается почленным сравнением степенных рядов для

Пусть тогда

Пусть — множество точек области , отстоящих от ее границы больше чем на .

Из определений (1.4) и (2.9) и неравенств (2.36) следует, что

где мы обозначили

Поэтому из определений оператора К (формулы (2.17) и (2.18)) и оператора следует

или, переходя к операторной норме,

где

Обозначим через множество точек сосуда стоящих от его границы больше, чем на ; из оценки (2.39) вытекают неравенства

и

из которых следует, что

Поэтому

Заменяя в последней оценке 6 на мы получим неравенство

справедливое при . С другой стороны,

Из оценок (2.42), (2.43) и (2.44) получаем

Правая часть неравенства (2.45) стремится к нулю, когда стремятся к бесконечности. Полагая найдем, что существует положительная убывающая и не зависящая от области функция такая, что

и

Используя уравнения (2.28) и (2.29), окончательно получим, что

4.2.4. Дополнения к теореме 4.2.3.

(а) Если К — компактное подмножество области, выделяемое неравенством (2.33) и то функцию связанную с равенством можно выбрать так, чтобы она не зависела от при Это очевидно следует из оценки (2.45).

(б) Если функция непрерывна в (а это обычный случай), то можно рассматривать банахово пространство ограниченных непрерывных функций вместо ограниченных измеримых; в частности, функции в этом случае непрерывны.

4.2.5. Уравнения Майера — Монтролла. Положим

Можно показать, что

Эти интегральные уравнения называются уравнениями Майера — Монтролла; они образуют неоднородную систему линейных уравнений относительно корреляционных функций при Вместо уравнений Кирквуда—Зальцбурга для изучения предела корреляционных функций при неограниченном возрастании объема можно воспользоваться уравнениями Майера — Монтролла. Но они оказываются полезными только при изучении положительных потенциалов, или потенциалов с твердой сердцевиной.

4.2.6. Решетчатые системы. Рассмотрим классическую решетчатую систему (в смысле 2.4). Предположим, что и пусть если только число элементов X не равно 1 или 2. Положим

Тот факт, что эквивалентен следующему свойству функции

Теперь, считая потенциалом парного взаимодействия, мы можем построить «дискретную» теорию, совершенно аналогичную соответствующей теории для непрерывных систем. При этом все интегралы по очевидно, заменятся суммами по Заметим, что из условия (2.54) вытекают условия устойчивости (ввиду соотношения (4.8)

гл. 2) и регулярности парного потенциала. Для доказательства последнего утверждения заметим, что

Здесь мы воспользовались сверхаддитивностью функции на полуоси Мы предлагаем читателю самостоятельно переформулировать теорему

4.2.3 для данного случая.

Укажем другой способ изучения решетчатых систем, применимый не только к системам с парным взаимодействием. Этот подход аналогичен подходу, основанному на уравнениях Кирквуда — Зальцбурга, но существенно использует тот факт, что две различные частицы не могут занимать одну ячейку.

Потенциал взаимодействия Ф является функцией от конечных подмножеств решетки Предположим, что если (т. е. если подмножество X содержит только одну точку решетки химический потенциал войдет в активность Предположим также, что

Это условие более обременительно, чем условие использованное в п. 2.4, но ему удовлетворяют все парные потенциалы, для которых выполнено (2.54). Введем обозначения

Пусть X — конечное подмножество решетки Обозначим через X множество, получаемое удалением одной

точки из X, например, первой в смысле лексикографического порядка Введем обозначения:

В определении (2.62) сумма распространяется на все наборы непустых подмножеств множества покрывающие |т. е. Отметим тождества

и

Из предположения (2.56) следует неравенство

Отсюда, учитывая сверхаддитивность функции при получаем, что

и поэтому

Пусть если в противном случае. Используя соотношения (2.63) и (2.64), мы получим

и поэтому

4.2.7. Теорема. Пусть Е — банахово пространство ограниченных комплекснозначных функций, заданных на непустых подмножествах решетки наделенное равномерной нормой. Пусть X — конечное подмножество в Обозначим через X подмножество, получающееся удалением из X первого элемента (в смысле лексикографического порядка в Определим оператор К, действующий в Е, равенством да

где и К (X, Т) определяются равенствами (2.59) и (2.62) соответственно, а первое слагаемое в квадратных скобках отсутствует при Полагая

мы получим, что

при условии, что

В круге на плоскости в котором выполняется условие (2.72), большая статистическая сумма В, определенная равенством (2.57), не обращается в нуль и вектор задаваемый выражением (2.58), является единственным решением в пространстве Е следующего уравнения-.

где если в противном случае. Для каждого можно указать такое конечное множество А с: что

если является единственным решением уравнения

принадлежащим пространству Е. Вектор аналитически зависит от если лежит в области (2.72).

Докажем сначала неравенство (2.71). Заметим, что если а — вещественное число, то кривая

представляет собой окружность, симметричную относительно вещественной оси. Поэтому, учитывая оценку (2.67), достаточно доказать, что

для положительных вещественных значений . А для них это следует из неравенства и того факта, что правая часть в (2.76) меньше единицы (ввиду условия (2.72)).

Уравнение (2.73) в точности совпадает с (2.68). Остальные утверждения доказываются точно так же, как при доказательстве теоремы 4.2.3.