§ 7.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ СОСТОЯНИЙ

В гл. 4 мы исследовали существование термодинамического предела для равновесных состояний при малых значениях активности. В этом параграфе мы откажемся от предположения о малости активности; тем не менее мы сможем доказать существование термодинамического предела, но только для «почти всех» взаимодействий. Смысл выражения «почти все» мы потом уточним.

Рассмотрим классические и квантовые решетчатые системы. Пусть обозначает банахово пространство, определенное в § 2.2 или 2.4, а обозначает подпространство финитных потенциалов. В этой главе для удобства мы введем еще некоторое произвольное банахово пространство такое, что а норма в больше, чем в и, кроме того, всюду плотно в Можно, в частности, положить

7.3.1. Классические решетчатые системы. Рассмотрим сперва решетчатые газы. Корреляционные функции соответствующие взаимодействию и конечному подмножеству определяются равенством

где

Пусть если Усредняя по всем сдвигам, мы получим

Таким образом, для любого взаимодействия имеем

Из этой формулы следует, что функционал совпадает с точностью до множителя с вариационной производной функционала по Ф, где

Естественно попытаться получить предельные корреляционные функции как вариационные производные предельной термодинамической функции

Обозначим через множество всех взаимодействий таких, что в точке существует единственная касательная плоскость к графику Если Фей, то в пространстве сопряженном к существует единственный элемент такой, что

для всех

7.3.2. Теорема. Пусть тогда при в смысле Ван Хова

для всех В частности, для каждого конечного подмножества существует предел

определяющий предельные корреляционные функции

Для конечного объема у графика выпуклой функции в каждой точке существует единственная касательная плоскость

где в соответствии с (3.4)

Пусть и точка лежит строго выше графика функции (рис. 18). Для достаточно больших сосудов Л точка также лежит выше а поэтому и выше касательной плоскости в точке т. е.

Отсюда следует, что касательная плоскость к стремится к касательной плоскости к в силу единственности последней

для всех Из равенств (3.10) и (3.12) вытекает (3.7).

Таким образом, мы доказали существование термодинамического предела для корреляционных функций, когда взаимодействие

Рис. 18. Графики

Покажем теперь, что — «большое» множество и что оно содержит «почти все» взаимодействия. Можно показать, что выпуклая непрерывная функция дифференцируема почти всюду относительно многих мер в пространстве Для простоты мы отметим только следующие результаты.

7.3.3. Предложения.

(а) Множество содержит пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств пространства , следовательно, плотно в

(б) Существует подмножество банахова пространства определяемого равенством (4.10) гл. 2, такое, что при при почти всех (в смысле Лебега) точка принадлежит

Обозначим через 2 границу выпуклого множества, содержащего внутренние точки и лежащего в сепарабельном банаховом пространстве, а через Т — подмножество точек из 2, в которых существует единственная касательная плоскость. Оказывается, что множество Т содержит счетное пересечение открытых всюду плотных в 2 множеств. Из этого результата, доказанного в книге Данфорда и Шварца гл. V, разд. 9, теорема 8), вытекает утверждение Доказательство п. (б) мы опустим.

7.3.4. Квантовые решетчатые системы. Интересующийся читатель может самостоятельно перенести результаты, полученные выше для классических систем, на квантовые решетчатые системы. Отметим только, что мы исходим из определения

и приходим к окончательному равенству где обозначает систему матриц плотности, удовлетворяющих условиям (а) и (б) п. 7.1.3. Равенство (3.7) должно быть заменено на следующее: