§ 3. ЯВЛЕНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ФАЗ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ ПЕРВОГО РОДА В РЕШЕТЧАТЫХ МОДЕЛЯХ ГАЗА

3.1. Основной результат. После появления работ Добрушина [2], [3], Гриффитса [2], Березина и Синая [1], Жинибра, Гроссмана и Рюэля [1], в которых было установлено существование фазового перехода рода для некоторых классов решетчатых систем (см. разд. 5.3 и 5.4), Минлос и Синай [1], [2] предприняли детальное исследование картины типичных конфигурации частиц в малом каноническом ансамбле для значений параметров отвечающих фазовому переходу (расслоению фаз, по терминологии физиков). Это строгое математическое исследование для случая решетчатых моделей полностью подтвердило принятые в физике феноменологические и полуфеноменологические представления о пространственном разделении фаз. Эти представления сводятся, грубо говоря, к следующему. Если вещество, заключенное в большом сосуде имеет общую плотность лежащую вне отрезка фазового перехода [отрезок, соответствующий плоскому участку в графике свободной энергии (см. п. 5.3.3)], то частицы вещества достаточно равномерно распределены по сосуду (например, так, что в любой макроскопически большой части сосуда плотность вещества совпадает с общей плотностью При этом говорят, что вещество находится в «однородной фазе». При значениях плотности лежащих внутри отрезка фазового перехода вещество

разделяется на две различные части, занимающие каждая свою часть сосуда. Плотность частиц в одной из них равна а в другой Внутри каждой из частей вещество устроено достаточно однородно, т. е. представляет «фазу». Объем V плотной фазы («капли») определяется из общего баланса вещества в сосуде

где - объем сосуда. При этом капля принимает такую форму, при которой поверхностное натяжение минимально (в непрерывной изотропной среде это, очевидно, шар, а в решетчатых моделях — куб).

Мы приведем сейчас основной результат работы Минлоса и Синая, из которого, как будет видно, следует строгое подтверждение изложенных выше наглядных представлений для случая решетчатых систем. Для простоты мы ограничимся в нашем изложении плоской моделью Изинга (случай притяжения), хотя результат работы остается справедливым и для общего случая, описанного в разд. 5.3 и 5.4, а также для случая, разобранного в работе Добрушина [3] (см. приложение, § 1). Предварительно введем некоторые понятия и обозначения. Мы рассматриваем малый канонический ансамбль из частиц, заключенных в квадрате на решетке, и предполагаем, что температура достаточно мала, — число точек в причем плотность лежит на отрезке фазового перехода (см. п. 5.3.3). Пусть для каждого расположения частиц внутри через Г (5) обозначена граница этого расположения (см. п. 5.3.4), a — связанные компоненты этой границы (циклы). Через мы обозначим, как всегда, число частиц в . В этих обозначениях распределение Гиббса для малого канонического ансамбля принимает вид

где

а — энергия взаимодействия двух соседних частиц.

Циклы Г, длина которых не превосходит где с — некоторая заранее выбранная константа, мы будем называть с-малыми циклами, а остальные циклы — большими.

Далее, если цикл расположения не охватывается никаким другим циклом этого расположения, мы назовем его внешним. Пусть — некоторое подмножество . Мы скажем, что цикл Г попадает в 0, если совокупность охватываемых этим циклом точек решетки [обозначим ее через принадлежит 0. Цикл расположения мы назовем внешним в 0, если он попал в 0 и не охватывается никаким другим попавшим в 0 циклом расположения

Определение. Расположение называется однокапельным, если у него имеется ровно один большой внешний цикл Гтах и все циклы этого расположения, внешние в являются с-малыми. Множество в однокапельном расположении назовем каплей.

Наглядно однокапельное расположение устроено так: вне капли частицы находятся в сравнительно маленьких скоплениях, не превосходящих по размеру и плавающих в «океане пустоты». Внутри же капли картина двойственная: в огромном «материке частиц» встречаются небольшие (не больше с лакуны из пустот, так что, образно говоря, внутренность капли служит негативным изображением ее внешности. Множество назовем макроскопическим [точнее -макроскопическим], если число его точек и его граница удовлетворяют оценкам: где и — некоторые заранее фиксированные константы.

Пусть — конечное подмножество решетки и X — подмножество . Мы скажем, что пара (X, У) совместима с заданной конфигурацией с если найдется такой вектор решетки а, что .

Число таких векторов а мы будем называть числом совмещений пары (X, У) с и обозначать через Иначе можно сказать, что пара (X, У)

совместима с конфигурацией если в некотором месте локальная структура конфигурации 5 совпадает с а. Множество расположений из малого канонического ансамбля, как обычно, назовем типичным, если его вероятность стремится к 1 при Сформулируем теперь основной результат работы Минлоса и Синая.

3.2. Теорема. В оговоренных выше предположениях относительно плотности и температуры расположения обладающие перечисляемыми ниже свойствами, типичны.

(1) — однокапельное расположение и при этом:

а) «объем капли» заключен в пределах:

где «средний объем капли» V определяется из соотношения

а константа при

б) капля имеет «почти квадратную» форму в следующем смысле:

где константа при

Из утверждений а) и б) следует, в частности, что капля является - макроскопическим множеством при некоторых и I.

(2) Для любой пары конечных множеств существуют такие величины что для всякого -макроскопического множества 0 вне капли

а также для всякого макроскопического множества 0 внутри капли

где при При этом, в частности, для случая пары

где концы плоского участка изотермы.

3.3. Пояснения, уточнения, следствия и проблемы.

Если для расположений, описанных в основной теореме, ту их часть, которая находится вне капли, назвать разреженной (газообразной) фазой, а ту часть, что попадает внутрь капли — плотной (кристаллической) фазой, то наша теорема в точности воспроизводит наглядную картину разделения фаз, приводившуюся в начале предыдущего параграфа. При этом тот факт, что капля имеет «почти квадратную» форму, в точности соответствует минимальности поверхностного натяжения. Заметим здесь, что, хотя это и не содержится в самой работе, ее методы, по-видимому, позволяют дать оценку флуктуаций длины границы, которые (как это и подсказывается физическими соображениями) должны быть порядка

Заметим, что в утверждении (2) этой теоремы вводится по существу четкое определение фазы. Действительно, пусть, например, и состоит из одной точки, тогда означает в этом случае плотность частиц из , попавших в 0. Из (2) следует, что внутри каждой фазы эта плотность для любого макроскопического множества и для всех типичных расположений почти постоянна. В общем случае для произвольной пары выражение естественно считать плотностью, с которой встречаются в 0 те места из конфигурации , локальная структура которых описывается парой Утверждение (2) означает, что внутри одной фазы для любого макроскопического множества эта плотность почти одинакова для всех типичных конфигураций.

Утверждение (2) приведенной теоремы дает нам оценки для плотности - типа законов больших чисел. Можно, однако, утверждать, что для распределения вероятностей значений этих чисел справедливы и центральные предельные теоремы. В связи с этим заметим, что в правой части оценок (П.3.6)

и (П.3.7) величину можно заменить на где произвольно. Заметим, что, как нетрудно показать, величины являются вероятностями события для предельных гиббсовских распределений введенных в § 1 этого приложения:

В частности, при имеем где — корреляционная функция распределения . Таким образом, различие между фазами, выражающееся в различии между величинами такое же, как и различие между распределениями после замены частицы на пустоту и пустоты на частицу величины ] переходят друг в друга, точнее

Поскольку при указанном выше преобразовании (частица пустота) граница конфигурации не меняется, оба распределения порождают одинаковое распределение вероятностей (обозначим его через ). На множестве границ конфигураций При этом для достаточно больших распределение обладает следующим свойством:

3.4. Теорема. С вероятностью единица.

а) каждая компонента границы конфигурации замкнута (т. е. является циклом),

б) каждый цикл границы охватывается лишь конечным числом других циклов границы .

Таким образом, распределение на совокупности границ конфигураций при больших порождает ансамбль циклов (т. е. распределение на совокупности всевозможных расположений попарно непересекающихся циклов). Кроме того, все циклы лежат внутри внешних циклов, и таким образом распределение естественным образом порождает распределение в ансамбле внешних циклов, т. е. во множестве расположений попарно

непересекаюшихся и лежащих один вне другого циклов. По-видимому, теорема 3.4 справедлива при всех значениях вплоть до критической точки (точки Кюри, см. п. 5.4.9). Как устроена граница выше критической точки (например, при малых Состоит ли она только из циклов или содержит бесконечные «усы» (незамкнутые ломаные)? Встречаются ли там с положительной вероятностью внешние циклы? Ответы на эти вопросы до сих пор не даны. Правда, в работе и Синая [1] из анализа результатов численного моделирования контуров на ЭВМ делается вывод о том, что, по-видимому, бесконечные контуры встречаются с нулевой вероятностью.

Другим следствием основного результата является доказательство известной «гипотезы Майера» (самим Майером приписываемой Винеру). Пусть — усредненные корреляционные функции (см. п. 7.3.1) в малом каноническом ансамбле в квадрате с числом частиц

3.5. Теорема. При существует предел

где — корреляционные функции предельных распределений определяются из соотношений:

Основной метод исследования, с помощью которого получены приведенные выше результаты, состоит в подробном изучении ансамбля циклов и ансамбля внешних циклов. Это изучение в свою очередь опирается на анализ корреляционных функций в этих ансамблях, проводимый с помощью бесконечной цепочки уравнений, аналогичных уравнениям Кирквуда — Зальбурга в ансамбле частиц (см. разд. 4.2), и с использованием методов, обобщающих методы работы Боголюбова и Хацета [1] (см. приложение, § 2) и работы Рюэля [3] (см. разд. 4.2). В связи с этим следует упомянуть более раннюю работу Минлоса и Синая [3], где впервые были исследованы корреляционные функции в ансамбле внешних контуров

с целью изучить поведение изотермы на концах плоского участка. В этой работе установлено, что при больших график изотермы подходит к концам плоского участка с крутым наклоном, становящимся почти отвесным при