§ 7.6. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ КВАНТОВЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ КУБО — МАРТИНА — ШВИНГЕРА

В этом параграфе мы кратко опишем результаты, связанные с временной эволюцией квантовых решетчатых систем. Эти результаты по существу относятся к равновесной статистической механике, и техника, используемая для их доказательства, близка по духу к технике предыдущих параграфов.

Введем норму в пространстве

и определим банахово пространство как пополнение по этой норме.

Для системы с взаимодействием Ф, занимающей конечную область развитие во времени определяется однопараметрической группой автоморфизмов алгебры которые переводят «наблюдаемую» А при в «наблюдаемую» в момент времени по формуле

где

7.6.1. Лемма. Пусть тогда

В формуле

положим

и заметим, что можно ограничиться суммированием по множествам удовлетворяющим условиям Здесь при Заметим, что множество состоит не более чем из элементов; поэтому

Воспользуемся теперь тем, что

Используя эту оценку в (6.6), мы и получим неравенство (6.4).

7.6.2. Теорема. Пусть взаимодействие Фе. Существует непрерывная в сильной топологии однопараметрическая группа автоморфизмов определяемая следующим образом. Пусть при некотором конечном и пусть область А стремится к бесконечности в том смысле, что каждое конечное подмножество решетки в конце концов попадает в область А. Тогда

Доказательство состоит из четырех пунктов.

а) Легко убедиться в почленном равенстве

Если то из соотношений (6.4) и (6.2) следует, что равенство

определяет

б) Отображение по непрерывности продолжается до автоморфизма алгебры .

(в) Если числа лежат в интервале то

Мы можем определить для всех вещественных значений так, чтобы равенство (6.10) выполнялось при всех Тогда для всех будет выполняться и равенство (6.9).

(г) Из соотношений (6.8) и (6.4) следует, что при малых является суммой сходящегося степенного ряда. Поэтому

для всех элементов Лей. На этом доказательство теоремы заканчивается.

7.6.3. Теорема. Пусть определяется, как в теореме 7.5.1. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) инвариантность для всех

б) граничные условия Кубо—Мартина—Швингера (КМШ): Для любых двух элементов существует ограниченная непрерывная функция определенная в полосе аналитическая в области и такая, что для всех вещественных

Очевидно, что инвариантность достаточно доказать только для операторов при конечном Из

7.3.4 следует

где в смысле Ван Хова. Полезно заметить, что равенство (6.13) остается справедливым, если область , заменить на произвольное непустое конечное подмножество решетки — на произвольный элемент алгебры 91 при условии, что в правой части равенства (6.13) подходящим образом аппроксимировано элементами из В силу теоремы 7.6.2 по заданному можно найти конечное подмножество такое, что

и, значит,

где мы воспользовались коммутативностью Если в равенстве (6.13) заменить , на на и воспользоваться свойством (6.14), то получим

и, следовательно,

что и доказывает утверждение

Для того чтобы установить граничные условия КМШ, рассмотрим целую функцию определяемую равенством

Здесь Используя свойство (6.14), получим, что при всех вещественных

Каждая из функций так же как и ее производная ограничена в полосе Кроме того, при справедливы следующие оценки, равномерные по :

и

Поэтому функции ограничены в полосе равномерно по А и мы можем так выбрать последовательность областей чтобы функции сходились равномерно на каждом компактном подмножестве этой полосы. Предел этой последовательности функций очевидно, удовлетворяет граничным условиям КМШ.

Теперь мы должны избавиться от условия Пусть последовательность принадлежащая объединению , а сходится по норме к некоторому элементу При этом функции стремятся к своим пределам равномерно.

Поэтому то же самое верно и для функций (Поскольку функции ограничены, то для них справедлив принцип максимума модуля.) Отметим некоторые следствия из граничных условий КМШ.

7.6.4. Предложение. Пусть Центр алгебры содержится в коммутанте

Пусть С лежит в центре алгебры выберем последовательность так, чтобы элементы сильно сходились к С и чтобы при всех Это можно сделать ввиду теоремы Капланского о плотности (см. так как алгебра проста.

Пусть функции, аналитические в полосе с граничными значениями при при Из оценок (6.15) и (6.16) вытекает равномерная ограниченность производных функций в полосе Поэтому и функция аналитична в полосе а на границе принимает значения при при Отсюда следует, что функцию можно продолжить до периодической аналитической функции (так, что для всех комплексных А так как функция ограничена, то она является константой, которую мы обозначим через К

Полагая мы получим

Отсюда видно, что не зависит от Предложение доказано.

7.6.5. Следствие. Если состояние эргодично относительно сдвигов во времени, то представляет собой факторсостояние (см. упражнение 6.Д).

Это следствие вытекает из утверждений 6.3.3 (б) и 7.6.3.

Наконец, мы отметим следующий, результат, связывающий алгебры

7.6.6. Теорема. Пусть Существует такой антиунитарный оператор в что и

Доказательство использует теорию квазигильбертовых алгебр.

В том случае, когда алгебра является фактором, возможные типы этого фактора рассматриваются в работах Гугенгольца [1] и Штёрмера [2].