§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В СПИНОВЫХ МОДЕЛЯХ

Жинибр [6] и Робинсон [2] недавно установили существование фазовых переходов у некоторых спиновых моделей. Наиболее простая из них -мерная анизотропная модель ферромагнетизма — модель

Гейзенберга с гамильтонианом (см. разд. 5.5)

Здесь матрицы Паули, -постоянное магнитное поле. Заметим (см. пункт 5.4.9), что в случае классической модели ферромагнетизма (модели Изинга) существование фазового перехода 1-го рода при вытекает из того, что термодинамическое удельное намагничивание

где усреднение происходит по подансамблю таких расположений спинов которых все спины в точках границы А направлены вверх: если х принадлежит границе А; а — некоторая константа. Аналогичный факт устанавливается в работах Жинибра и Робинсона для квантового ансамбля Гиббса с гамильтонианом (П.5.1). А именно, если обозначить через орты в пространстве соответствующие расположениям спинов в кубе А, а через подпространство, натянутое на те орты, у которых все для х, принадлежащих границе куба А, то результат Жинибра и Робинсона состоит в том, что при и достаточно малых найдется такая положительная константа а, что при всех достаточно больших А

где — оператор полного намагничивания системы, означает, что рассматривается

след только от той части оператора В, которая действует в

где — оператор проектирования на

Метод исследования, примененный в работе Жинибра, по своей идее родственен методу, использованному им в работах по квантовой статистической физике (см. разд. 4.6). А именно, среднее по квантовому ансамблю сводится с помощью обычных в таких случаях процедур к усреднению некоторых функционалов по совокупности «кривых» где при каждом является подмножеством куба , и последующим переходом к пределу При этом допускаются лишь те кривые которых при всех либо одинаковы, либо отличаются единичным скачком (одна точка перемещается на соседнее пустое место).

Поскольку «график кривой» заметает некоторое подмножество А -мерной решетки, усреднение заменяется фактически усреднением по совокупности всех допустимых подмножеств -мерного параллелепипеда Распределение вероятностей, порождаемое этим усреднением на совокупности подмножеств А, имеет при этом вид

где — нормирующий множитель

и — число различных между собою соседних сечений в А, т. е. иначе число скачков.

Поскольку как и в случае классической модели Изинга, выражается с помощью -мерного объема той части границы , которая параллельна оси а само множество определяется полностью связными компонентами своей границы, распределение (П.5.4) порождает распределение на ансамбле допустимых конфигураций -мерных «циклов». Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям для классического случая (см. разд. 5.3). А именно, сначала устанавливается оценка вероятности данного цикла

где -мерная длина границы сечения в точке — число скачков, а затем оценивается число циклов, проходящих через заданную точку с фиксированными значениями где или 1, в зависимости от того, имеется ли скачок в точке Или нет. Это число допускает оценку

После этого легко оценить уже средний объем, охватываемый циклами. При больших и малых значениях он составляет малую долю общего объема параллелепипеда, что и означает положительную удельную намагниченность. Аналогичным образом в работе Жинибра [6] разбираются и другие модели: 1) решетчатый квантовый газ с твердой сердцевиной; 2) гейзенберговская модель антиферромагнетизма; 3) изинговская модель ферромагнетизма с поперечным магнитным полем; 4) изинговская модель антиферромагнетизма с поперечным магнитным полем.

Для модели 3) установлен фазовый переход рода при единственном значении параметра Для остальных моделей установлено существование двух фаз для целой области значения параметра

аналогичных фазам в соответствующих классических моделях антиферромагнетизма и решетчатого газа из твердых шариков, исследованных Добрушиным (см. приложение § 1). Напомним, что в этих случаях различие между фазами проявляется в различной намагниченности четной и нечетной подрешеток